等差数列复习课件

等差数列复习课件1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．了解等差数列与一次函数的关系．请注意等差数列的性质、通项公式和前n项和公式构成等差数列的重要内容，在历届高考中必考．经常以选择题、填空题形式出现．课前自助餐1．等差数列的基本概念(1)定义：数列{an}满足，则称数列{an}为等差数列．(2)通项公式：an＝.an＝am＋.(3)前n项和公式：Sn＝＝.(4)a，b的等差中项为.当n≥2时an－an－1＝d(常数)a1＋(n－1)d(n－m)dna1＋nn－12da1＋ann2a＋b22．等差数列常用性质：等差数列{an}中(1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝.ap＋aq(2)n为奇数时，Sn＝na中，S奇＝a中，S偶＝a中，∴S奇－S偶＝．(3)n为偶数时，S偶－S奇＝nd2.(4)若公差为d，依次k项和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等差数列，则新公差d′＝.(5){Snn}为等差数列．n＋12n－12a中k2d1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)．(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(4)若数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(5)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2．设a≠b，且数列a，x1，x2，b和a，y1，y2，y3，y4，b分别是等差数列，则y4－y3x2－x1＝________.答案35解析x2－x1＝13(b－a)，y4－y3＝15(b－a)，∴y4－y3x2－x1＝15b－a13b－a＝35.3．(2015·衡水调研卷)在等差数列{an}中，若S10＝4S5，则a1d等于()A.12B．2C.14D．4答案A4．(2014·重庆文)在等差数列{an}中，若a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝()A．5B．8C．10D．14答案B解析由等差数列的性质，得a1＋a7＝a3＋a5.因为a1＝2，a3＋a5＝10，所以a7＝8，选B.5．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6B．7C．8D．9答案A解析设等差数列{an}的公差为d，∵a4＋a6＝－6，∴a5＝－3，∴d＝a5－a15－1＝2，∴a6＝－1＜0，a7＝1＞0，故当等差数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n等于6.6．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝()A．18B．20C．22D．24答案B解析由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.授人以渔例1已知数列{an}是等差数列，(1)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求公差d；(2)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.题型一等差数列的基本量【解析】(1)∵an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋nn－12d，又a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，∴1＋n－1d＝－512，n＋12nn－1d＝－1022.解得n＝4，d＝－171.(2)方法一由已知可得a1＋d＋a1＋4d＝19，5a1＋5×42d＝40.解得a1＝2，d＝3.所以a10＝a1＋9d＝29.方法二由S5＝5a3＝40，得a3＝8.所以a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝19，得d＝3.所以a10＝a3＋7d＝8＋3×7＝29.【答案】(1)－171(2)29探究1a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中可知三求二，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，即所谓“通法”，考查通性通法应该是高考永恒的主题！(1)等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10＝30，a20＝50.①求通项公式an；②若Sn＝242，求n.思考题1【解析】①由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，得方程组a1＋9d＝30，a1＋19d＝50.解得a1＝12，d＝2.所以an＝2n＋10.②由Sn＝na1＋nn－12d，Sn＝242，得方程12n＋nn－12×2＝242.解得n＝11或n＝－22(舍去)．【答案】①an＝2n＋10②n＝11(2)设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{Snn}的前n项和，求Tn.【解析】方法一：设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋12n(n－1)d.∵S7＝7，S15＝75，∴7a1＋21d＝7，15a1＋105d＝75，即a1＋3d＝1，a1＋7d＝5.解得a1＝－2，d＝1.∴Snn＝a1＋12(n－1)d＝－2＋12(n－1)．∵Sn＋1n＋1－Snn＝12，∴数列{Snn}是等差数列其首项为－2，公差为12.∴Tn＝14n2－94n.方法二：设Sn＝An2＋Bn，∵S7＝7，S15＝75，∴A·72＋B·7＝7，A·152＋B·15＝75，解之得A＝12，B＝－52.下同方法一．【答案】Tn＝14n2－94n例2(1)已知在等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，则a3＋a9＝________.题型二等差数列的性质【答案】23(2)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()A．58B．88C．143D．176【解析】利用等差数列的性质及求和公式求解．因为{an}是等差数列，所以a4＋a8＝2a6＝16⇒a6＝8，则该数列的前11项和为S11＝11a1＋a112＝11a6＝88.【答案】B(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，S20142014－S20082008＝6，则S2013等于()A．2013B．－2013C．－4026D．4026【解析】由等差数列的性质可得{Snn}也为等差数列．又∵S20142014－S20082008＝6d＝6，∴d＝1.故S20132013＝S11＋2012d＝－2014＋2012＝－2.∴S2013＝－2×2013＝－4026.【答案】C探究2(1)本例用到等差数列中最常用的性质：①d＝ap－aqp－q，②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.(2)利用等差数列性质(特别是感觉条件不够时)求解即简捷，又漂亮．(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27【解析】S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，即9,27，a7＋a8＋a9成等差数列，∴a7＋a8＋a9＝54－9＝45.故选B.【答案】B思考题2(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.【解析】∵a1＋a5＝2a3，b1＋b5＝2b3，∴a5＋b5＝2(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2×21－7＝35.【答案】35(3)等差数列{an}共有63项，且S63＝36，求S奇和S偶．【解析】由S63＝36，得63·a32＝36.∴a32＝47.∴S奇＝32a32＝32×47＝1287，S偶＝31a32＝31×47＝1247.【答案】S奇＝1287，S偶＝1247题型三等差数列的判定例3已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＝2Sn－1Sn(n≥2)，a1＝1.(1)求证：{1Sn}是等差数列；(2)求an的表达式．【解析】(1)由已知得Sn－Sn－1＝2Sn－1Sn(n≥2)，若Sn－1Sn＝0，由上式可知Sn－Sn－1＝0，从而an＝0.但S1＝a1＝1≠0，矛盾，故Sn－1Sn≠0.∴1Sn－1Sn－1＝－2.由等差数列的定义知{1Sn}是以1为首项，－2为公差的等差数列．(2)由(1)知1Sn＝1＋(n－1)(－2)＝3－2n，∴Sn＝13－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝13－2n－15－2n＝22n－32n－5，∴an＝1，n＝1，22n－32n－5，n≥2.【答案】(1)略(2)an＝1，n＝1，22n－32n－5，n≥2探究3证明数列{an}为等差数列有两种方法：①证an＋1－an＝d(常数)，②证2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．思考题3已知正项数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝an＋1.求证：{an}是等差数列，并求an.【解析】∵an0，∴a1＝S1＝a1＋124，a1＝1.又2Sn＝an＋1，可整理为Sn＝an＋124.则n≥2时，Sn－1＝an－1＋124.两式相减，得an＝an＋124－an－1＋124.即an－12－an－1＋124＝0.可得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，an＋an－1≠0.故an＝an－1＋2(n≥2)．∴{an}是以a1＝1为首项，公差d＝2的等差数列．∴an＝2n－1.【答案】证明略，an＝2n－1例4等差数列{an}中，a1＜0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？【解析】方法一：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0.∴3a11＝0.∴a11＝0.∵a1＜0，∴前10项或前11项和最小．题型四等差数列的综合问题方法二：∵S9＝S12，∴Sn的图像所在的抛物线的对称轴为x＝9＋122＝10.5.又a1＜0，∴{an}的前10项或前11项的和最小．方法三：由S9＝S12，得9a1＋9×82d＝12a1＋12×112d.化简得a1＝－10d.∵a1＜0，∴d＞0.此时Sn＝na1＋12n(n－1)d＝d2n2＋(a1－d2)n＝d2n2－21d2n.∵n∈N*且－－21d22×d2＝212，∴当n＝10或n＝11时Sn最小，即{an}的前10项或前11项的和最小．【答案】前10项或前11项和最小【讲评】求等差数列前n项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．探究4若{an}是等差数列，求前n项和的最值时，(1)若a10，d0，且满足an≥0，an＋1≤0，则前n项和Sn最大；(2)若a10，d0，且满足an≤0，an＋1≥0，则前n项和Sn最小；(3)除上面方法外，还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数问题，利用二次函数的图像或配方法求解；(4)还可以利用Sn与n的函数关系，进行求导来求最值．(1)(2014·北京理)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a90，a7＋a100，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．【解析】由等差数列的性质可得a7＋a8＋a9＝3a80，即a80；而a7＋a10＝a8＋a90，故a90.所以数列{an}的前8项和最大．【答案】8思考题3(2)(2019·新课标全国Ⅱ理)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．【解析】设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝10a1＋10×92d＝10a1＋45d＝0，①S15＝15a1＋15×142d＝15a1＋105d＝25.②联立①②，得a1＝－3，d＝23.所以Sn＝－3