数列求和专题ppt课件

数列求和专题张明选1.公式法：①等差数列的前n项和公式：②等比数列的前n项和公式n即直接用求和公式，求数列的前n和S11()(1)22nnnaannSnad111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq常见求和公式有：①1＋2＋…＋n＝n(n＋1)2.②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.③2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n.*④12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)．*⑤13＋23＋33＋…＋n3＝14n2(n＋1)2.2.分组求和法：若数列的通项可转化为的形式，且数列可求出前n项和则1211221212()()()()()nnnnnnbcsaaabcbcbcbbbcccssnnnabc{}nc{}nbbscs{}na2.分组求和法：例1.求下列数列的前n项和111112,4,6,,248162nn解（1）：该数列的通项公式为1122nnan11111246(2)48162nnsn1111(2462)()482nn111(22)421212nnn111(1)22nnn练.求数列的前n项和cn=an+bn({an}、{bn}为等差或等比数列。）项的特征23n1+2,2+2,3+2n+2，，3、倒序相加法如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……例2、已知lg(xy)2nn-11n-1nS=lgx+lg(x·y)+...+lg(x·y)+lgy,(x0,y0)求S3.倒序相加法nn-1nS=lgx+lg(x·y)+...+lgynn-1nS=lg+lg(·x)+...+lgyyxnnn2S=lg+lg+...+lg(xy)(xy)(xy)=2n(n+1)S=n(n+1)解：４、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.既{anbn}型等差等比例３、求和Sn=1+2x+3x2++nxn-1(x≠0,1)解：∵Sn=1+2x+3x2++nxn-1∴xSn=x+2x2++(n-1)xn-1+nxn∴①-②，得：(1-x)Sn=1+x+x2++xn-1-nxn1-(1+n)xn+nxn+11-x=∴Sn=1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)21-xn1-x=-nxn…………………４、错位相减法练习1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=？通项５、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.（见到分式型的要往这种方法联想）例４、Sn=++……+11×313×51(2n-1)×(2n+1)[分析]：观察数列的通项：1(2n-1)×(2n+1)=（-）212n-112n+11这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和．裂项相消法例４、Sn=++……+11×313×51(2n-1)×(2n+1)解：由通项an=1(2n-1)×(2n+1)=（-）212n-112n+11∴Sn=（-+-+……+-)21311151312n-112n+11=（1-）212n+112n+1n=裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。先求通项再处理通项练习求和：1111+++.....+11+21+2+31+2+3+4+....+n1123nan解：2(1)nn112()1nn111112[(1)()()]2231nSnn12(1)1n21nn常见的拆项公式有：111)1(1.1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21)12)(12(1.3nnnn])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1.5nnnnnnn)(11.4bababa例求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．6.奇偶并项法分析通项中含符号数列(－1)n，按n为奇数、偶数分类讨论后，再并项求和．解当n为奇数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)＝2·n－12＋(－2n＋1)＝－n.当n为偶数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·n2＝n.∴Sn＝(－1)nn(n∈N*)．数列求和的一般步骤：等差、等比数列直接应用公式法求和。非等差、等比的数列，通过通项化归的思想设法转化为等差、等比数列，常用方法有分组求和法、倒序相加法、错位相减法不能转化为等差、等比的数列，往往通过裂项相消法求和,当奇数与偶数项合并后可以构成新的等差等比数列时用并项法。