微分中值定理教案

微分中值定理【教学内容】拉格朗日中值定理【教学目的】1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2【教学重点与难点】1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。3、利用导数证明不等式的技巧。【教学过程】一、背景及回顾在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。由此我们学习了极值点的概念、费马定理、特别是罗尔定理，我们简单回忆一下罗尔定理的内容：若函数)(xf满足下列条件：①在闭区间ba,连续②在开区间ba,可导③)()(bfaf则在ba,内至少存在一点c，使得0)('cf二、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础，我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：2.1拉格朗日定理若函数)(xf满足下列条件：①在闭区间ba,连续②在开区间ba,可导则在开区间ba,内至少存在一点c，使abafbfcf)('注：a、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。b、若加上)()(bfaf，则00)('ababafbfcf即：0)('cf，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。c、形象认识（几何意义），易知abafbf为过A、B两点的割线的yC)(xfyABaOxbxyC)(xfyABaObMNx斜率，)('cf为曲线)(xf上过c点的切线的斜率；若abafbfcf)('即是说割线的斜率等于切线的斜率。几何意义：若在闭区间ba,上有一条连续的曲线，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少有一点))(,(cfcC，使得过点C的切线平行于割线AB。它表明“一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲线端点的弦。”2.2拉格朗日定理的证明下面我们证明一下该定理。分析：如何来证明该定理呢？由于罗尔定理为拉格朗日定理的特例，我们考虑是否可将拉格朗日定理的证明转化到罗尔定理上来，为此需要构造一个辅助函数)(x，使他满足罗尔定理的条件。注意罗尔定理的结果是0)('cf，对应拉格朗日定理的结果是abafbfcf)('，即0)('abafbfcf，实际上就是0)('c，即是说abafbfcfc)()(''，两边积分得Cxabafbfxfx)(，注意)(x要满足罗尔定理的三个条件，故取][)(axabafbfafxfx证明：作辅助函数][)(axabafbfafxfx，易知)(x在闭区间ba,连续，在开区间ba,可导，又)()(ba，根据罗尔定理，)(x在ba,内至少存在一点c，使得0)('c，而abafbfxfx)()(''，于是0)()(''abafbfcfc，即abafbfcf)('，命题得证。注：a、本定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现，其中构造函数][)(axabafbfafxfx中的axabafbfaf其实就是过两点A、B两点的割线方程。b、拉格朗日中值定理的中值点c是开区间（a,b）内的某一点，而非区间内的任意点或指定一点。换言之，这个中值定理都仅“定性“地指出了中值点c的存在性，而非”定量“地指明c的具体数值。c、拉格朗日中值定理的其他表达形式：（1）.).)(()()(时也成立当baabfafbf（2）xfxfxxf)()()(之间和在xxx2.3拉格朗日定理的应用例1:验证函数()fx3x-3x在区间[0，2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件，若满足，求使定理成立的的值.解:因3()=3fxxx，在0,2上连续，在(0,2)内可导，满足定理的条件。而2()=33fxx由02)(02'fff得2313，233注在验证拉格朗日中值定理时，必须注意：（1）该函数是否满足定理的两个条件。（2）是否存在一点∈（a,b）,使))(()()(abfafbf成立.例2.)1ln(1,0xxxxx时证明当分析：此题难以下手，由此考虑到使用拉格朗日中值定理。证明：设xxf1ln易知xf在],0[x上满足拉格朗日中值定理的条件故，xxffxf0,00'又，xxff11,00'，有上式得：11lnxx又，111111110xxx则，xxxx11，即xxxx)1ln(1，命题得证。小结：用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是选取适当的函数，并且该函数满足中值定理的条件。便得到)())(()()(baabfafbf，再根据ba放大或缩小)(f，证出不等式。推论1如果()fx在区间(,)ab内的导数恒等于零，那么()fx在(,)ab内恒等于一个常数.（证明作为课外作业）证：在区间(,)ab内任意取两点1x，2x（设12xx），则()fx在12,xx上满足拉格朗日中值定理条件.故有2121()()()fxfxxxfc12()xcx，由于()0fc，所以21()()0fxfx，即21()()fxfx.由于1x，2x是在(,)ab内任意取的两点，因此()fx在区间(,)ab内函数值总是相等的，这表明()fx在区间(,)ab内恒为一个常数.推论2若(,)xab有()()fxgx，则(,)xab有()()fxgxc.（证明作为课外作业）证：(,)xab，()()()()0fxgxfxgx，根据推论1知()()fxgxc，即()()fxgxc.三、小结1、拉格朗日定理的内容2、拉格朗日定理的几何意义3、拉格朗日定理的证明过程——构造函数法4、拉格朗日定理的应用微分学基本定理1、极值点的概念定义：设函数)(xf在区间I上有定义。若Ix0，且存在0x的某邻域,)(0IxU)(0xUx，有0xfxf（0xfxf）则称0x是函数)(xf的极大点（极小点），0xf是函数)(xf的极大值（极小值）。2、费马定理设函数)(xf在区间I上有定义。若函数)(xf在0x点可导，且0x是函数)(xf的极值点，则0)(0'xf3、罗尔定理若函数)(xf满足下列条件：①在闭区间ba,连续②在开区间ba,可导③)()(bfaf则在ba,内至少存在一点c，使得0)('cf4、拉格朗日定理若函数)(xf满足下列条件：①在闭区间ba,连续②在开区间ba,可导则在开区间ba,内至少存在一点c，使abafbfcf)('5、柯西中值定理若函数)(xf和)(xg满足下列条件：①在闭区间ba,连续②在开区间ba,可导，且),(bax，有0)('xg，则在ba,内至少存在一点c，使得agbgafbfcgcf''