人教版高中数学新教材必修第一册课件：4.2.1指数函数的概念-(共22张PPT)

4.2.1指数函数的概念讲课人：邢启强2传说古印度的宰相西萨发明了国际象棋，国王很喜欢这个游戏，决定奖赏他，表示可以满足他任何一个要求。宰相微笑着说出了他的要求：在他的棋盘上摆满麦粒，第1格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒……每一小格的麦粒数量都是前一格的2倍，直至所有格子都摆满。国王马上派人搬来麦粒开始摆放，但很快他发现这个要求根本不可能满足，因为所有麦粒的总和是个天文数字。到底需要多少粒小麦呢？这是一个20位数，一个天文数字。这个数字的小麦折算成重量，约为2587亿吨。即使现在，全世界小麦年产量也达不到这个数字。有人说，用80立方米的仓库存放这些小麦，把这些仓库连接起来，可以从地球一直延伸到太阳。新课引入讲课人：邢启强3新课引入随看中国经济高速增长,人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式,由于旅游人数不断增加，A,B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格,而B地则取消了景区门票.右表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量。比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？讲课人：邢启强4新课引入为了有利于观察规律，根据表格，分别画出A，B两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万次)；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律.讲课人：邢启强5新课引入结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数。像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长.因此，B地景区的游客人次近似于指数增长.显然，从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律以近似描述为：从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到20023091.112001278年游客人次＝年游客人次20033441.112002309年游客人次＝年游客人次201512441.1120141118年游客人次＝年游客人次…………1年后，游客人次是2001年的1.111倍；2年后，游客人次是2001年的1.112倍；3年后，游客人次是2001年的1.113倍；...x年后，游客人次是2001年的1.11x倍。如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么y=1.11x(x∈[0,+∞)这是一个函数，其中指数x是自变量。讲课人：邢启强6细胞分裂过程细胞个数第一次第二次第三次2=218=234=22…………第x次……x2细胞个数y关于分裂次数x的表达为y=2x表达式新课引入讲课人：邢启强7比较下列指数的异同，若是函数值？是什么函数？①、110122322,2,2,2,2,2;②、11012232111111,,,,,;2222222xy12xy能不能把它们看成函数值？新课引入讲课人：邢启强8认真观察并回答下列问题：(1)、一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，问若对折x次所得层数为ｙ，则y与x的函数关系是：2,()xyxN(2)、一根1米长的绳子从中间剪一次剩下米，再从中间剪一次剩下米，若这条绳子剪x次剩下y米，则y与x的函数关系是：12141,()2xyxN新课引入讲课人：邢启强9前面我们从两列指数和三个实例抽象得到两个函数：122xxyy与这两个函数有何特点?函数y=ax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量.函数的定义域是R.思考:为何规定a0，且a1?01a学习新知讲课人：邢启强10当a0时，ax有些会没有意义，如(-2),0等都没有意义；212101a而当a=1时，函数值y恒等于1，没有研究的必要.思考:为何规定a0，且a1?▲关于指数函数的定义域：回顾上一节的内容，我们发现指数中p可以是有理数也可以是无理数，所以指数函数的定义域是R。pa学习新知讲课人：邢启强11学习新知函数y=ax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量.函数的定义域是R.(1)定义域必须是实数集R；(2)自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项；(3)指数式只有一项，并且指数式的系数为1，例如y＝5·ax(a0且a≠1)不是指数函数；(4)底数a的范围必须是a0且a≠1.讲课人：邢启强12例1:下列函数中指数函数的个数是：132(1)3(2)3(3)(4)(3)(5)(6)5xxxxxyyyxyyxy答案：1个典型例题判断一个函数是指数函数的方法(1)需判断其解析式是否符合y＝ax(a0，且a≠1)这一结构特征．(2)看是否具备指数函数解析式所具有的所有特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．讲课人：邢启强13典型例题例2.已知指数函数f(x)=ax(a0,且a≠1)，且f(3)=π,求f(0)，f(1)，f(－3)的值.解：因为f(x)=ax(a0,且a≠1)，且f(3)=π,所以a3=π,解得13a，于是133()()xxfx所以f(0)＝01，f(1)＝3，f(－3)＝1.讲课人：邢启强14典型例题例3(1)指数函数y＝f(x)的图象经过点－2，14，那么f(4)f(2)＝()A．8B．16C．32D．64(2)若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，求f(x)的解析式及f(－1)的值．解:(1)指数函数y＝f(x)＝ax(a0，且a≠1)的图象经过点－2，14，可得a－2＝14，解得a＝2，函数的解析式为：y＝2x，f(4)f(2)＝24·22＝64，故选D.(2)设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，将点(2,9)代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去)．所以f(x)＝3x.所以f(－1)＝3－1＝13.讲课人：邢启强15(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式方法总结讲课人：邢启强161.若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是()A．(0,1)∪(1，＋∞)B．[0,1)∪(1，＋∞)C．12，1∪(1，＋∞)D．12，＋∞巩固练习C2．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________．23．已知函数f(x)是指数函数，且f－32＝525，则f(x)＝________.5x讲课人：邢启强17例4某林区2018年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．典型例题解:(1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为：200＋200×5%＝200(1＋5%)．经过2年后木材蓄积量为：200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2.∴经过x年后木材蓄积量为：200(1＋5%)x.∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.函数的定义域为x∈N*.讲课人：邢启强18(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象见下图.x0123…y200210220.5231.5…作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值．∵8＜x0＜9，则取x＝9(计划留有余地，取过剩近似值)，即经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．典型例题讲课人：邢启强19(1)涉及单位时间内变化率一定的问题可用公式y＝a(1＋α)x来计算，其中a为初始值，α为变化率，x为自变量，x∈N*，y为x年变化后的函数值．(2)作函数的图象应先列表再作出图象，从左向右看，若图象上升，则函数是增函数；若图象下降，则函数是减函数．其实可总结出当a＞0，α＞0时，y＝a(1＋α)x是增函数．方法总结1．指数增长模型:设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．2．指数减少模型:设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)．3．指数型函数:把形如y＝kax(k≠0，a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．讲课人：邢启强201．[指数增长类型]某城市房价(均价)经过6年时间从1200元/m2增加到了4800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是()A.32－1B.32＋1C.50%D.600元解析：这6年间平均每年的增长率为x，则1200(1＋x)6＝4800，解得x＝64－1＝32－1.故选A.巩固练习A2．若镭经过100年后剩留量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()A．y＝(0.9576)100xB．y＝(0.9576)100xC．y＝0.9576100xD．y＝1－(0.0424)100x解：由100年后剩留量为原来的95.76%，故x年后的剩留量y＝(0.9576)100x.A讲课人：邢启强213．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm(ppm为浓度单位，1ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c12mt(c，m为常数)．求c，m的值．解：由题意可得c124m＝64，c128m＝32，解得c＝128，m＝14.故c，m的值分别为128，14.巩固练习讲课人：邢启强22函数y=ax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量.函数的定义域是R.课堂小结(1)定义域必须是实数集R；(2)自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项；(3)指数式只有一项，并且指数式的系数为1，例如y＝5·ax(a0且a≠1)不是指数函数；(4)底数a的范围必须是a0且a≠1.