11--特殊值法——教师版

第11讲特殊值法一、方法技巧特殊值法（一）定义又叫特值法，即通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．这个特殊值必须满足无论这个量的值是多少，对最终结果所要求的量的值没有影响；（二）使用条件有些选择题或填空题，用常规方法求解比较困难，若根据已知或答案所提供信息，选择某些特殊值进行分析或计算，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往比较简单．（三）专题目标通过训练，能迅速作出判断并能用特殊值法解决问题．（四）解题思路1．一定要按照题目所给的具体条件取值2．所取的数值一般最大不超过5，最小不超过5这样的整数，例如1、1、0最常用3．将所取的特殊值代入题干直接判断或逐一代入题支判断即可得出正确答案（四）应用类型类型一已知中具体数量关系较少的问题类型二化简与求值的问题类型三恒等式问题类型四解以“不论k为何值时”为条件的问题类型五验证结论的正确性的问题类型六比较大小的问题类型七几何问题二、应用举例类型一已知中具体数量关系较少的问题【例题1】有两只相同的大桶和一只空杯子，甲桶装牛奶，乙桶装糖水．先从甲桶内取出一杯牛奶倒入乙桶，再从乙桶中取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶．请问此时甲桶内糖水多还是乙桶内的牛奶多？A．甲桶多B．乙桶多C．一样多D．无法判断【答案】C【解析】题干全部为文字叙述，没有具体数据，可采用特值法．解：令甲桶牛奶量=乙桶牛奶量=1L，空杯子体积为1L，第一次取一杯牛奶即将甲桶牛奶全部倒入乙桶，充分混合，此时乙桶内牛奶和糖水的比例为1：1，乙桶有2L，甲桶0L，又从乙桶取一杯混合液倒入甲桶，此时甲桶溶液量=乙桶溶液量=1L，且牛奶和糖水各占一半．即甲桶内糖水=乙桶内糖水．故选C．【难度】一般类型二化简与求值的问题【例题2】已知a、b满足2baab，则22224aabbaabb．A．1B．12C．34D．14【答案】B【解析】满足题干条件的a、b的数据很多，但结果是唯一的，所以可以对a、b特殊化，令1ab，则222231462aabbaabb，故选择B．【难度】一般类型三恒等式问题【例题3】若实数x、y、z满足240xzxyyz，则下列式子一定成立的是（）A．0xyzB．20xyzC．20yzxD．20zxy【答案】D【解析】本题三个未知数，一个方程，如果不用特值法很难解答．取特殊值：1x，2y，3z，满足240xzxyyz，A．12360xyz,B．2122330xyzC．223230yzxD．231220zxy故选择D．【难度】一般类型四解以“不论k为何值时”为条件的问题【例题4】不论参数a取什么值，直线2yaax总通过一个定点，这个定点坐标为（）A．0,2B．2,0C．2,0D．0,2【答案】C【解析】由条件“不论参数a取什么值”，可知a的取值不影响直线2yaax通过定点，故简单的方法是将选项直接代入来验证．将选项代入直线2yaax，可以看出只有C选项2,0代入时恒等成立，故选C．【难度】容易类型五验证结论的正确性的问题【例题5】已知有理数a、b满足ab＞，则下列式子正确的是（）A．ab＜B．ab＞C．ab＜D．ab＞【答案】C【解析】由有理数a、b满足ab＞，取1a，0b，那么A：10＜，成立，B：01＞，成立，C：10＜，成立，D：10＞，不成立，故排除D．取1a，2b，那么A：12＜，不成立，B：12＞，不成立，C：12＜，成立，故选C．点评：特殊值法将抽象的字母换成形象的数字，使解题更为方便．【难度】一般类型六比较大小的问题【例题6】当0m＜，m与15m的大小关系为（）A．15mm＞B．15mm＜C．1=5mmD．无法确定【答案】B【解析】因为0m＜，取1m，则1155m，因115＜，故15mm＜，故选B．【难度】较易类型七几何问题【例题7】如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数4yx和2yx的图象交于A点和B点．若C为x轴上任意一点，连接AC、BC，则ABC△的面积为．【答案】3【解析】因为P为y轴上任意一点且C为x轴上任意一点，本题为填空题，故选择特殊值法比较适合．解：令0,1P，0,0C，则4,1A，2,1B，即246AB，1OP∴16132ABCS【难度】较易三、实战演练类型一已知中具体数量关系较少的问题1．一个圆柱的半径比原来的圆柱的半径多3倍，高是原来的14，则这个圆柱的体积是原来圆柱体积的（）A．一样多B．94倍C．34倍D．4倍【答案】D【解析】此题若不用特殊值法解答，势必要去寻找两者的数量关系，而这个数量关系还要靠字母来体现，若用特殊值法，数量关系明了，能轻松顺利的解答．解：令原来的圆柱半径是1,高是1，则体积是新圆柱半径是4,高是14，则体积是4则这个圆柱的体积是原来的4倍，故选D．【难度】一般2．老王前几年投资的一套艺术品市价上涨了50%，为尽快出手，老王将该艺术品按市价的八折出售，扣除成交价5%的交易费后，发现与买进时相比赚了7万元．问老王买进该艺术品花了多少元？A．84B．42C．100D．50【答案】D【解析】本题是选择题，已知的数量关系是百分数，因此把购入价格看作100比较快捷、准确的解答此题．解：令该艺术品两年前价格为100则现在市价为150八折售价为1500.8=120交易费用为1205%=6实际售价为1206114利润为11410014因实际赚了7万元，则714=100万元购买价格，故购买价格为50万元．选择D．点评:本题若列方程，可设买进价格为x万元，则150%80%15%17x，求解容易出错，这样题型特值法较好．【难度】一般3．若32213xxxk有一个因式为21x，求k的值．【答案】6【解析】根据大纲要求这部分知识难度已降低，因此不采用特殊值法将无从下手．因式21x已定，故32213xxxk已定，故k不变的，适合使用特值法．令3221321xxxkxA，把12x代入可求得6k【难度】较难类型二化简与求值问题4．如果1abc，则111111abbbcccaa的值是（）A．4B．1C．1D．不确定【答案】C【解析】试题分析：本题已知条件只给了1abc，因此令1abc，即可迅速得出答案试题解析：解：（方法一）令1abc，则1111111111333abbbcccaa（方法二）∵1abc∴111111abbbcccaa11111abcabbabccaaca1111acaaacacacaa11acaaac1点评：显然特值法对这样条件较少，但题目很繁冗复杂的问题很快捷．【难度】较难5．已知1ab，则1111ab的值为________【答案】1【解析】因为1ab，所以令1ab，原式11122，即1111ab值为1点评：由于选择题、填空题不需要写出解题的过程，只要求出正确答案即可，解答选择题，填空题时运用特殊值法能提高解题的速度和准确性．【难度】较易6．若1a＜，则333a的最后结果是（）A．3aB．3aC．3aD．3a【答案】B【解析】本题若用常规的方法应根据1a＜，先讨论3a的正负，进而讨论33a的正负，最后得出最终答案，相比较选择题中此题特值法比较好用．解：（法一）∵1a＜，故340a＜＜，即33aa∴33aa，则3333aa（法二）由于1a＜，故令2a，则33333231a故选B．【难度】一般7．已知一次函数21yax的图像不经过第三象限，则化简224496aaaa的结果是（）A．1B．1C．25aD．52a【答案】D【解析】我们不妨从已知，即一次函数21yax的图像不经过第三象限这一条件入手，因为21yax的图像必经过0,1这点，而经过0,1这点的图像要想不经过第三象限，只有当20a＜，即2a＜，我们取0a代入即可得到答案．解：∵一次函数21yax的图像不经过第三象限∴20a＜，即2a＜∴取0a代入22449649aaaa235，显然答案A、B错，答案C为25a，由0a，故255a，故C错．答案D为52a，由0a，故525a，故D正确．故选择D．【难度】一般类型三恒等式问题8．若3232xabxcxdx，求22acbd的值【答案】1【解析】对于恒等式问题，当等式中的的字母取使等式有意义的任何一个特殊值时，等式都成立，根据恒等式这个性质，可以用特殊值法求恒等式中参数的值．令1x时，321abcd令1x时，321abcd所以22acbdacbdacbd333212121211【难度】较难类型四解以“不论k为何值时”为条件的问题9．求证：不论k为何值时，一次函数213110kxkyk的图像恒过一定点．【答案】证明：∵条件为不论k为何值时，故可取特殊值令0k时，3110xy①令1k时，4100xy②把、①②联立成方程组31104100xyxy解得：23xy当2x，3y时，213110kxkyk成立所以不论k为何值时，一次函数的图像恒过定点2,3【解析】因为条件为“不论k为何值时”，即定义范围内的所有数值都会使图象经过定点，故取两个数值即可确定这个定点．证明：∵条件为不论k为何值时，故可取特殊值令0k时，3110xy①令1k时，4100xy②把、①②联立成方程组31104100xyxy解得：23xy当2x，3y时，213110kxkyk成立所以不论k为何值时，一次函数的图像恒过定点2,3点评：解决以“不论k为何值时或k为任意实数时”为条件的问题，可以取特殊值法，探求出定点，然后加以验证即可．【难度】较难10．若点,Aab在第一象限，则点,2Bab在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】按题目要求取1,1A，即1a，1b，则1a，2123b，故B点为1,3显而易见在第二象限．故选B．【难度】容易11．当213m＜＜时，点321Pmm，在第（）象限A．一B．二C．三D．四【答案】D【解析】由于数学选择题的唯一性，因此取满足条件213m＜＜的特殊值56m，通过计算点P的坐标为1126，，在第四象限内，故选D．【难度】较易12．二次函数20yaxca，若当x取1x、2x时函数值相等，当x取12xx时函数值等于________．【答案】c【解析】本题在解答时需根据二次函数图像的特点，二次函数2yaxc的对称轴为y轴，则可得1202xx，从而得120xx时，取0x代入2yaxc中得yc【难度】一般类型五验证结论的正确性问题13．“如果两个三角形的三个内角与三条边六个元素中有五个元素分别相等，那么这两个三角形一定全等”，这个命题正确吗？说明理由．【答案】不正确【解析】两个三角形的三边长分别取特殊值为8、12、18或12、18、27因为81218121827，所以两个三角形相似，所以两个三角形三个内角分别相等，又有两条边分别相等，即五个元素相等，但这两个三角形不全等，所以这个命题是假命题