18版高中数学不等式3.1基本不等式课件北师大版5180223483

§3.1基本不等式第三章不等式1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考知识点一算术平均数与几何平均数如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？答案PO＝AB2＝a＋b2.易证Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么PQ2＝AQ·QB，即PQ＝ab，显然，a＋b2≥ab.梳理如果a，b都是非负数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立.其中称为a，b的平均数，称为a，b的平均数.两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数.a＋b2aba＋b2ab算术几何如何证明不等式ab≤a＋b2(a0，b0)?知识点二基本不等式及其常见推论思考答案∵a＋b－2ab＝(a)2＋(b)2－2a·b＝(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，∴a＋b≥2ab，∴ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，等号成立.梳理ab≤a＋b2(a0，b0).当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22(a，b∈R)；(2)ba＋ab≥2(a，b同号)；(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).题型探究类型一常见推论的证明例1证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R).证明∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.证明不等式(a＋b2)2≤a2＋b22(a，b∈R).引申探究证明由例1，得a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，两边同除以4，即得(a＋b2)2≤a2＋b22，当且仅当a＝b时，取等号.反思与感悟(1)本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R，与基本不等式不同.(2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法.∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.跟踪训练1已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.证明求证：(1)yx＋xy≥2；类型二用基本不等式证明不等式例2已知x，y都是正数.证明∵x，y都是正数，∴xy0，yx0，∴yx＋xy≥2yx·xy＝2，即yx＋xy≥2，当且仅当x＝y时，等号成立.∵x，y都是正数，∴x＋y≥2xy0，x2＋y2≥2x2y20，x3＋y3≥2x3y30.∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2xy·2x2y2·2x3y3＝8x3y3，(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.解答即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当x＝y时，等号成立.反思与感悟在(1)的证明中把，分别看作基本不等式中的a，b从而能够应用基本不等式；在(2)中三次利用了基本不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号.yxxy跟踪训练2已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.证明∵a，b，c都是正实数，∴a＋b≥2ab0，b＋c≥2bc0，c＋a≥2ca0.∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2ab·2bc·2ca＝8abc.即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.A.x＝a＋b2B.x≤a＋b2C.x＞a＋b2D.x≥a＋b2类型三用基本不等式比大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，a，b，x均大于零，则答案解析反思与感悟基本不等式一端为和，一端为积，使用基本不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和.a＋b2≥ab跟踪训练3设a＞b＞1，P＝，Q＝，R＝，则P，Q，R的大小关系是A.R＜P＜QB.P＜Q＜RC.Q＜P＜RD.P＜R＜Q答案解析lga·lgblga＋lgb2lga＋b2当堂训练∵a0，b0，1.已知a0，b0，则的最小值是A.2B.C.4D.5答案解析123√41a＋1b＋2ab22∴1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab≥41ab·ab＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立.A.aa＋b2abbB.baba＋b2aC.ba＋b2abaD.baa＋b2ab2.若0ab，则下列不等式一定成立的是√1234答案解析∵0ab，∴2ba＋b，∴ba＋b2.∵ba0，∴aba2，∴aba.故ba＋b2aba.A.6B.42C.26D.83.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是1234√∵a＋b＝3，答案解析∴2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝28＝42，当且仅当a＝b＝32时，等号成立.①a2＋1a；②a＋1ab＋1b≥4；③(a＋b)1a＋1b≥4；④a2＋96a.其中恒成立的是________.(填序号)12344.设a0，b0，给出下列不等式：①②③答案解析规律与方法2.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.1.两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当a＝b时，a＋b2＝ab；另一方面：当a＋b2＝ab时，也有a＝b.内部文件，请勿外传本课结束内部文件，请勿外传内部文件，请勿外传