椭圆及其标准方程(第一课时)教案全面版

椭圆及其标准方程（第一课时）教案天津南开中学林秋莎一．教材及学情分析：本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）选修2－1第二章第二节《椭圆及其标准方程》第一课时．用一个平面去截一个对顶的圆锥，当平面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，我们将这些曲线统称为圆锥曲线．圆锥曲线的发现与研究始于古希腊．当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广．17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线．在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想．解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系．在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形．在选修2中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题．由于教材以椭圆为重点交代求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用．本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等．因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值．根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用几何画板的动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持．二．教学目标：1．知识与技能目标：①理解椭圆的定义②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力2．过程与方法目标：①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力②学会用坐标化的方法求动点轨迹方程③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识3．情感态度价值观目标：①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美⑤利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心三．重、难点重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用关键：含有两个根式的等式化简四．教法分析新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照“创设情境——学生活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思——巩固提高”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人．五．教学过程创设情境——提出问题,学生活动——体验数学,意义建构——感知数学,数学理论——建立数学,数学应用——巩固新知,回顾反思——归纳提炼,课后作业——巩固提高（一）创设情境——提出问题以折纸游戏创设问题情境请学生将课前统一发放的圆形纸片拿出来，并按如下步骤进行操作：1．将圆心记作点1F，然后在圆内任取一定点2F2．在圆周上任取10个点，分别记作12310NNNN、、……，将它们与圆心相连，得半径111213110FNFNFNFN、、……3．折叠圆形纸片，使点1N与点2F重合，将折痕与半径11FN的交点记作1M；然后再次折叠圆形纸片，使点2N与点2F重合，将折痕与半径12FN的交点记作2M；……；依此类推，最后折叠圆形纸片，使点10N与点2F重合，将折痕与半径110FN的交点记作10M4．用平滑曲线顺次连接点12310MMMM、、……，你有何发现？设计意图：使学生产生学习兴趣和探索欲望（二）学生活动——体验数学1．学生通过动手实践、观察，猜想轨迹为椭圆2．展示学生成果3．用几何画板展示动点生成轨迹的全过程，印证猜想4．展示椭圆实际应用的幻灯片5．导出新课：看来，大家对椭圆并不陌生，但细想想，我们对椭圆也说不上有多熟悉，除了“她”的名字和容貌，我们对“她”的品性几乎还一无所知．数学是一门严谨的科学，我们不能满足于直观感受、浅尝辄止，我们希望对椭圆有更深刻的认识，比如：椭圆上所有的点所具有的共同的几何特征是什么？——椭圆的定义；能否用代数方法精确地刻画出这种共同的几何特征？——椭圆的标准方程．这就是我们这节课的重点内容．设计意图：从折纸游戏中导出新课，明确研究课题（三）意义建构——感知数学椭圆定义的初步生成M10M9M8M7M6M5M4M3M2M1N10N9N8N7N6N5N4N3N2N1F2F1学生每4人一组，合作探究，在刚才的折纸游戏中，折痕与对应半径的交点的共同属性，教师巡视指导．如学生有困难，可按如下提示铺设认知阶梯：如何用数学语言表达点N与定点2F重合——点N与定点2F关于折痕轴对称对称轴有什么特点——折痕即对称轴是线段2NF的垂直平分线线段垂直平分线上的点有什么几何性质——到线段两个端点距离相等，即2MFMN动点M与定点12FF、之间有什么关系——1211MFMFMFMNNFR请学生代表本小组交流探究结论——与两个定点12FF、的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆（四）数学理论——建立数学1．椭圆定义的完善提出问题：要想用上面那句话作为椭圆的定义，要保证它足够严密、经得起推敲．那么，这个常数可以是任意正实数吗？有什么限制条件吗？如何体现点2F在定圆1F的内部？引导学生回答：点2F在定圆1F的内部即点2F到圆心1F的距离小于圆的半径，也就是1212FFRMFMF，从而意识到在“定义”中需要加上“常数12FF”的限制．继续深化问题：若常数=12FF或常数12FF,情况会发生什么变化？应用平面几何中的“三角形任意两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”为理论依据，得出结论：当常数=12FF时，与两个定点21,FF的距离之和等于常数的点的轨迹是线段12FF；当常数12FF时，与两个定点21,FF的距离之和等于常数的点的轨迹不存在．请学生给出经过修改的椭圆定义，教师用幻灯片给出完善的椭圆定义，并介绍焦点、焦距的定义．设计意图：使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风2．椭圆的标准方程(1)回顾用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤：建系设点、写出动点满足的几何约束条件、坐标化、化简、证明等价性(2)建立焦点在x轴上的椭圆的标准方程①建系设点：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？——利用椭圆的对称性特征以直线12FF为x轴，以线段12FF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设焦距为20cc，则12,0,0FcFc．设,Mxy为椭圆上任意一点，点M与点12FF、的距离之和为222aac．②动点M满足的几何约束条件:122MFMFa③坐标化：22222xcyxcya④化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号预案一：移项后两次平方法22222222222222222222222222242222222222222222222424221xcyxcyaxcyaxcyxcxcyaxcxcyaxcyaxcyacxaxacxacayaacxcxacxayaacxyaac链接到几何画板，分析22ac的几何含义，令222acb得到焦点在x轴上的椭圆的标准方程为222210xyabab22222222222222222222222222222222212212423124234221xcyxcyaxcyxcykcxcxakkakxcyacxxcyaacxxcxcyacxaacxayaacxyaac预案二：引入共轭无理数对设得：得：将代入得：下同法一22222222222222222222222222222222222222221221443214341xcyxcyaxcyaxcyxcyadxcyadcxcxaddaxycadcxxycaaacxayaacxyaac预案三：运用等差数列知识、、成等差数列设得：得：将代入得：下同法一-10-55108642-2-4-6-8F2F1A1A2B2B1OM设计意图：进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神感受数学的简洁美、对称美(3)建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程要建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何去做？此时要借助于化归思想，抓住图(1)与图(2)的联系即可化未知为已知，将已知的焦点在x轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在y轴上的椭圆的标准方程．只需将图(1)沿直线yx翻折或将图(1)绕着原点按逆时针方向旋转90即可转化成图(2)，需将x轴、y轴的名称换为y轴、x轴或y轴、x轴．（1）（2）焦点在y轴上的椭圆的标准方程为222210yxabab设计意图：体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复劳动(4)辨析焦点分别在x轴、y轴上的椭圆的标准方程的异同点区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较2x与2y项分母的大小即可．若2x项分母大，则焦点在x轴上；若2y项分母大，则焦点在y轴上．反之亦然．联系：它们都是二元二次方程，共同形式为2210,0,AxByABAB两种情况中都有222acb（五）数学应用——巩固新知例1：判断分别满足下列条件的动点M的轨迹是否为椭圆（1）到点12,0F和点22,0F的距离之和为6的点的轨迹；（是）（2）到点12,0F和点22,0F的距离之和为4的点的轨迹；（不是）（3）到点10,2F和点20,2F的距离之和为6的点的轨迹；（是）（4）到点12,0F和点20,2F的距离之和为4的点的轨迹；（是）设计意图：巩固椭圆定义例2：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是121,01,0FF、，椭圆上一点M到12FF、的距离之和为4，求该椭圆的标准方程．2222224213143aacbacxy解：椭圆的标准方程为设计意图：学会用待定系数法求椭圆标准方程变式一：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是120,10,1FF、，椭圆上一点M到12FF、的距离之和为4，求该椭圆的标准方程．2222224213143aacbacyx解：椭圆的标准方程为设计意图：提醒学生在解题时先要根据焦点位置判断使用哪种形式的椭圆标准方程变式二：已知椭圆的两个焦点分别是121,01,0FF、，椭圆经过点31,2M，求该椭圆的标准方程．222221222335321142132222143aMFMFacbacxy