重庆大学高等数学(工学类)中期试卷及参考答案

重庆大学2014版试卷标准格式第1页共4页重庆大学高等数学（工学）课程中期试卷n20—20学年第学期开课学院：数学与统计课程号：考试日期：考试方式：考试时间：120分钟题号一二三四五六七八九十总分得分一．单项选择题（每小题3分，共15分）1.设22,0,0(),()2,0,0xxxxgxfxxxxx，则(())gfx【D】（A）22,02,0xxxx（B）22,02,0xxxx（C）22,02,0xxxx（D）22,02,0xxxx2.若函数()yfx有0()0fx，则当0x时，该函数在0xx处的微分dy是【D】（A）与x等价的无穷小（B）与x同阶的无穷小（C）比x低阶的无穷小（D）比x高阶的无穷小3.若2350ab，则方程532340xaxbxc【B】（A）无实根（B）有唯一实根（C）有三个不同实根（D）有五个不同实根4.若21()lim(1)xtxfttx，则()ft【C】（A）0（B）2tte（C）2(21)tte（D）(1)tte5.设两函数()fx和()gx都在xa处取得极大值，则函数()()()Fxfxgx在xa处【D】（A）必取极大值（B）必取极小值（C）不可能取极值（D）不能确定是否取极值二．填空题（每小题3分，共15分）1.已知2(),(())1xfxefxx且()0x，则()x的定义域为2.若2lim8xxxaxa，则aln23.已知当0x时，123(1)1ax与1cosx是等价无穷小，则常数a324.若2sin21,0()2,0axxexfxxax在(,)上连续，则a25.设()fx在点xa处可导，且0()()lim2xfaxfaxx，则函数在xa处的切线斜率为1三．判断并说明理由（每小题4分，共12分）。0x命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院专业、班年级学号姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试；2.考试作弊，留校察看，毕业当年不授学位；请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等，属严重作弊，开除学籍。重庆大学2014版试卷标准格式第2页共4页1.设()fx在xa的某个邻域内有定义，若0(2)()limhfahfahh存在，则()fx在xa处可导。简答：不对，例如1,,()0,,xafxxa则()fx在xa间断，因此()fx在xa处是不可导，但0(2)()lim0hfahfahh2.若3()(3)lim23xfxfx，则3lim()2xfx。简答：错，因为3()(3)lim23xfxfx，33lim()(3)0lim()(3)xxfxffxf3.设()fx和()x在,内有定义，()fx为连续函数，且()0,()fxx有间断点，则()()xfx必有间断点。简答：对，因为如果()()()xgxfx连续，于是()()()xfxgx，由连续函数的乘积必连续，知()x连续，与假设矛盾。四．计算题）1.011lim()ln(1)xxx。2．()fx在1x处具有连续的导数，且(1)2f求0(cos2)limxdfxdx。解：0((cos2)limxdfxdx=0sin2lim(cos2)22(1)42xxfxfx3.求曲线33cossinxtyt上对应于6t点处的法线方程。解：当6t时，3333311(),()2828xy，切线的斜率为：22663sincos1||3cossin3ttdyttdxtt，法线的斜率为3，所以法线的方程为：1333()88yx31yx4.设函数()fx在区间(,)内有定义，若当(,)x时，恒有2()fxx，求(0)f解：由题设()fx在区间(,)内有定义，又，令0x，得到(0)0f，又00()(0)()limlim0xxfxffxxx，而()0fxxx，由迫敛性定理可以知道0)(lim0xxfx0ln(1)limln(1)xxxxx20ln(1)limxxxx0111lim2xxx0lim2(1)xxxx122()fxx重庆大学2014版试卷标准格式第3页共4页故00()(0)()(0)limlim00xxfxffxfxx，5.确定函数()ln10xfxxe在(0,)内零点个数。解：11()exfxxexe令()0fxxe当xe时()0fx，函数单调递减；当0xe时()0fx，函数单调递增，所以函数在xe取得极大值，又()100fe，极大值在x轴的上方。又0lim()xfx，lim()xfx，由零点存在定理知在(0,)e和(,)e内()fx分别有一个零点.，所以()fx在(0,)内有两个零点.五．证明题1.设函数fx在区间[0,2]上二阶可导,且在[0,2]上有1,1.fxfx求证在[0,2]上有2fx证明:任取[0,2]x,由泰勒公式210002!fffxfxxx222222!fffxfxxx其中120,,,2xx.上面两式相减得212222022!2!fffxffxx于是当[0,2]x时,有212222022!2!fffxffxx22212[2]31314.2xxx即有2fx2、设函数()fx连续，在(,)ab内可导，且/()0fx，试证明存在,(,)ab使得//()()bafeeefba证明：()fx在[,]ab上满足拉氏中值定理的条件，由拉氏中值定理，存在，使得令()xgxe，则()gx与在满足柯西中值定理的条件，故由柯西中值定理，存在,)ab（，使得/()()()bafbfafeee，即/()()()()bafbfaeeefbaba由题设()0fx，知/()0f，从而//()()bafeeefba六．应用题（7分）汽车的前灯、探照灯、反射式的天文望远镜以及日常生活中使用的手电筒，它们的反光镜都是采用旋转抛物面，即抛物线绕对称轴旋转一周而成的曲面。这种反光镜有一个很好的光学特性，把光源放在抛物线的焦点处，经镜面反射后的光线变成了与对称轴平行的光束，请用导数的几何意义来证明这个性,)ab（/()()()fbfafba()fx[,]ab重庆大学2014版试卷标准格式第4页共4页质。解：不妨设抛物线的方程为2yx，它的焦点为1(,0)4F由于抛物线关于x轴对称，只讨论0y的情形。在2(0)yxy上任取一点0,0()Pxx，由光的反射原理及几何知识知，设T为过P的切线与x轴的交点，只需证FPFT过P的切线方程斜率为00''01()2xxxxyxx切线方程为0001()2yxxxx令0,y得T的横坐标为0xx0011()44FTxx，2200011()()44FPxxx，FTFP，即证。xyPFT2yx