第九章-球坐标系下的分离变量-球函数

第九章球坐标系下的分离变量球函数本章内容概要：§9.1球坐标系下的亥姆霍兹方程的分离变量给出该亥姆霍兹方程分离变量的解§9.2§9.3(缔合)勒让德函数、球函数的性质母函数、递推公式、正交归一性关系、前几阶的勒让德多项式■球坐标系下分离变量法的应用：见本章6道例题令：,代入得:§9.1球坐标系下的亥姆霍兹方程的分离变量一.亥姆霍兹方程的引入20ttuau(,,,)()(,,)uxyztTtvxyz2''0TvaTv2''TvaTv20''0TaTvv分离变量得::亥姆霍兹方程对三维波动方程为使t→∞时,T(t)有限,取20kTips:k=0时，取T(t)≡Constant→位势方程二.球坐标系下亥姆霍兹方程的分离变量22222222111()(sin)0sinsinvvvrkvrrrrr1.径向坐标r和角向坐标的分离变量(,)令,代入Helmholhz方程：(,,)()(,)vrRrY22222222()(sin)sinsinYddRRYRYrkRYrdrdrrr方程两边同时乘以，整理得:2rRY222222111()(sin)sinsinddRYYrkrRdrdrYY(1)ll=0即：222()[(1)]0ddRrkrllRdrdr22211(sin)(1)0sinsinYYllY2.角向坐标和的分离变量令,代入角向方程：(,)()()Y222(sin)(1)0sinsindddllddd方程两边同时乘以，整理得2sin222sin1(sin)(1)sindddllddd2m即：22sin(sin)[(1)sin]0ddllmdd2220dmd3.的本征问题求解()2220()(2)dmd（自然周期条件）本征值：本征函数：0,1,2m()cossinmmAmBm或,本征值：本征函数：0,1,2m()ime220,sin(sin)[(1)sin]0|ddllmdd4.的本征问题求解()有限值（自然边界条件）令x=cos，则dx=sind222[(1)][(1)]01ddmxlldxdxx2[(1)](1)0ddxlldxdx此即l阶勒让德方程,满足有限的本征解为：1|x本征值：本征函数：()lPx(1),0,1,2,lll①m=0,的方程变为：()此时为常数即，绕z轴对称()②m≠0时,令,方程变为：22(1)()mxyx2(1)''2(1)'[(1)(1)]0(*)xymxyllmmy为求方程的解,考虑勒让德多项式满足的方程：22'()(1)((1)'')0()lllxPxxlxPxlP对x求m次导：2(2)(1)()(1)[(1)(2)(2)]2mmmlllmmxPmxPP(1)()()2[](1)0mmmlllxPmPllP整理,得：2()''()'()(1)2(1)[(1)(1)]0mmmlllxPmxPllmmP比较上式与(*)式，知本征解为：记为缔合勒让德函数22()()(1)()mmmllPxxPx由勒让德函数的微分表达式,得：22()()(1)()mmmllPxxPx注意到为l阶多项式,使,则()lPxml从的微分表达式，也可看出()mlPxlml若先选定m，则,,1,2,(0)lmmmm若先选定l，则,0,1,2,ml0,1,,ml或,2221(1)(1)(11)2!mlmlllmdxxxldx()0mlPx本征值：本征函数：(1),lll22()(1)()mmlxPx112()()21lkklPxPxdxl或者：02(cos)(cos)sin21lkklPPdl11()!2()()()!21mmlklklmPxPxdxlml0()!2(cos)(cos)sin()!21mmlklklmPPdlml附注：(缔合)勒让德函数的正交归一关系：或者：22(cos)21lPl2()!2(cos)()!21mllmPlml范数:范数:详细证明见下节5.总结：角向函数的本征问题(,)Y22211(sin)(1)0sinsin(,)(,2)(0,),(,)YYllYYYYY本征值：(1),0,1,2,lll0,1,2ml本征函数：(,)(cos)(cossin)mmllmmYPAmBm本征值：(1),0,1,2,lll0,1,2,ml或者：(,)(cos)mmimllYPe本征函数：为有限值(自然周期边界条件)(有界条件)例:量子力学中,定义角动量平方算符为2ˆL2222211ˆ[(sin)]sinsinL则：22ˆ(,)(1)(,)LYllY即：算符有分立的本征值：2ˆL2(1)ll(,)mlY称为球谐函数。球谐函数具有正交性。,0(,,,)(,)(,)lmlmllmlrtRrtY因此，函数，可在球坐标系展开为：(,,,)rt①k=0时，径向方程为欧拉方程:2''2'(1)0rRrRllR令，得其解为：tre(1)12()llRrcrcr②k≠0时，方程称为l阶球贝塞尔方程：此时,令12,()()()22xkrRryxxyxx222()[(1)]0ddRrkrllRdrdr径向方程：根据前面的讨论，l为自然数，即0,1,2,l6.径向函数的求解()Rr此时Helmholhz方程变为Laplace方程.根据对贝塞尔方程的讨论，方程通解为：112212()()()llyxcJxcNx通常令1122()(),()()22lllljxJxnxNxxx分别称为l阶球贝塞尔函数和l阶球诺依曼函数。则l阶球贝塞尔方程的通解为：12()()()llRrcjkrcnkr方程化为：2221'''[()]02xyxyxlyl为整数，则方程为半奇数阶贝塞尔方程7.总结：球坐标系下Helmholhz方程的通解形式①k=0时,Helmholhz方程即为Laplace方程(位势方程)(1)00[]()cossinlllmlllmmlmvCrDrPxAmBm②k≠0时00[()()]()cossinlmlllllmmlmvCjkrDnkrPxAmBm0(,,)[()()]()lmimlllllmlmlvrCjkrDnkrPxAe或者：※若讨论的问题具有旋转对称性，则m=0此时,k2(本征值)可由径向(r)的边界条件给出.(例9.3)方程20vkv0(0)vk一般情形m≠0绕极轴旋转对称(m=0)球对称(m=0且l=0)()cos(cos)()sinlmlljkrmPnkrm(1cos(cos)sinlmllrmPmr()(cos)()llljkrPnkr(1)(cos)lllrPr1020()()cjkrcnkr121ccrHelmholtz方程Laplace(位势)方程§9.2球函数§9.3(缔合)勒让德多项式一.勒让德多项式的母函数(生成函数)在单位球的北极,置电荷量为的正电荷.04球内M点与N点距离为：N0(4)212cosdrr则,M点电势为：()211/12cosMudrru(M)也可由拉普拉斯方程通过分离变量法求出。☆此问题关于z轴对称;且球内电势有限.0(4)令,则因,有：0(1)1lP01,(1)1lllArrr又，01,(1)1llrrr1,0,1,2,lAl()0(cos)lMllluArP由§9.1的讨论知，此问题通解为：因此201(cos)(cos1)12lllrPrrr2112cosrr称为勒让德多项式的母函数(1)201(cos))2os(c11lllrPrrr同理得：因此，勒让德函数是函数在r=0处的泰勒/洛朗展开的系数.2112cosrr12201(cos)()2cosllllrPRRrRrrR12201(cos)()2cosllllRPrRrRrrR若球的半径为R比较r的l次幂的系数:二.勒让德多项式的递推公式201()(1)12lllrPxrrxr由母函数公式两边对r求导，得23/2101(12)(22)()2lllrxrrxlrPx/212120()((112))()2lllxrrxrlrrrPxx0210()(12)()()llllllxrrxrlrrxxPP111()()(1)()2()(1)()lllllxPxPxlPxxlPxlPx整理，得递推公式：11(1)()(21)()()0llllPxlxPxlPx三.勒让德多项式的正交归一关系(缔合)勒让德方程是Sturm-Liouville方程的一例,因此(缔合)勒让德多项式在[-1,1]上正交。112()()21lkklPxPxdxl※下面由勒让德方程证明正交归一关系。或者：02(cos)(cos)sin21lkklPPdl()(1)()(2)klPxPx式式，并在[-1,1]积分得11111122()()[(1)(1)]()([(1)()][(1)()])0lllkkkddxPxdxdxddxPxdxPxdxllkkPxPxdxdxxPdx作分部积分，相减结果为零又k≠l，故11()()0()lkPxPxdxkl2[(1)()](1)()0(1)llddxPxllPxdxdx2[(1)()](1)()0(2)kkddxPxkkPxdxdx1.正交性2.归一关系1220(12)()(1)lllrxrrPxr上式两边平方，并在[-1,1]积分11211001()()12lklklkdxrPxrPxdxrxr12210...[()]lllRHSrPxdx221(1)11...lnln2(1)1rrLHSrrrr由正交性得：将方程左边也展开为r的级数表达式：20221llrl比较的系数得:lr1212[()]21lPxdxl母函数关系:由勒让德多项式的正交归一关系,可将在区间[-1,1]上的函数f(x)用勒让德多项式展开。四.缔合勒让德函数1.缔合勒让德函数的引入222[(1)][(1)]01ddmxlldxdxx在§9.1讨论中,通过对勒让德方程微分m次，验证了缔合勒让德方程的解，即缔合勒让德函数。22()()(1)()mmmllPxxPx2221(1)(1)2!mlmlllmdxxldx2.缔合勒让德函数的递推公式11(1)()(21)()()()0mmmllllmPxlxPxlmPx证明