半导体中的载流子统计分布

1第三章半导体中的载流子统计分布半导体的电子状态，能带半导体的杂质能级半导体的电子分布§3.1 状态密度§3.2 费米能级和载流子的统计分布§3.3本征半导体的载流子分布§3.4杂质半导体的载流子浓度§3.5 一般情况下的载流子统计分布§3.6 简并半导体3载流子的跃迁价带导带电子能量载流子的跃迁施主能级导带载流子的复合价带导带载流子的复合价带导带复合中心4载流子的跃迁：价带→导带，低能量→高能量载流子的复合：高能量→低能量复合跃迁动态平衡热平衡载流子：热平衡状态下的导电电子和空穴。温度变化，载流子热平衡下浓度也相应变化本章所解决的中心问题：1.一定温度下半导体中平衡载流子浓度。2.半导体载流子随温度变化的规律5Tip:要想求出E→E+dE范围内的量子态个数dZ只要求出E→E+dE范围内的(kx,ky,kz)→(kx+dkx,ky+dky,kz+dkz)k空间的体积元。状态密度g(E)定义：E→E+dE范围内有dZ个量子态dEdZEg=)(g(E):在能带中能量E附近每单位能量间隔内的量子态数。空间的量子态密度）（空间体积元）kkdZ×=(§3.1 状态密度Density of States(DOS)6每个量子态在k空间所占的体积=∴k空间的量子态密度=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=Δ=Δ=ΔzzyyxxLkLkLkπππ222VLLLzyx3)2(222ππππ=⋅⋅33)2()2(1ππVV=在K空间中，电子的允许能量状态密度是V/8π3，如果计入自旋，电子的允许量子态密度是2V/8π3。每个量子态昀多只能容纳一个电子。K空间中量子态的分布„各向同性（等能面为球面）：导带底极值在k=0处2200*()()()2nkkEkEkm−−=GGGG=*1/222()()ncmEEk−==各向同性dkkVdVVdZ2334)2(2)2(2πππ⋅=⋅=22*2cnkEEm=+G=*2*2nnmdEkkdkdEdkm=====dEEcEmVdZn2/132/3*2)()2(2−⋅⋅==πkE0kxkykzK+dK3*21223(2)()()2ncmdZVgEEEdEπ==−=dEEcEmVdZn2/132/3*2)()2(2−⋅⋅==π由此可知，状态密度与能量成抛物线关系，能量越大，状态密度越大。和有效质量也有关。EEcEvgc(E)gv(E)„对实际材料，如Si,Ge的导带底附近等能面不是球面，而是旋转椭球面，即22222xyzctlkkkEEmm⎛⎞+=++⎜⎟⎜⎟⎝⎠=2222221yxzkkkabc++=222222()2(),tclcmEEmEEabc−−=====其中椭球体积12222()2()4433tclcmEEmEEabcVππ−−⎛⎞==⋅⋅⎜⎟⎝⎠==()11222328()ltcdVmmEEdEπ=−=实际情况()1221232382()82ltcmmVVdZsdVsEEdEππ=⋅=⋅⋅−=3*21223(2)()()2dnccmdZVgEEEdEπ==−=„假设共有s个旋转椭球，则k空间中量子态密度为：s*2V/8π3个电子状态,则()()312*2282ltdnsmmm=取()12*233dnltmsmm=3*21223(2)()2ncmVdZEEdEπ=−⋅=球状„相同的方法可以得到价带顶附近电子的态密度3*21223(2)()()2pvvmVgEEEπ=−=™实际情况：在价带顶有两种空穴()()()vvlvhgEgEgE=[phone](2)(2)()()22plphvvmmVVEEEEππ=⋅−+⋅−==233322dpplphmmm⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦取321223(2)()()2dpvvmVgEEEπ=−=mph和mpl分别是重空穴和轻空穴的有效质量。由于mphmpl,重空穴带的态密度显著大于轻空穴带的态密度。所以空穴主要分布在重空穴带中。12§3.2费米能级和载流子的统计分布„费米分布函数„玻尔兹曼分布函数„导体中的电子浓度和价带中的空穴浓度13费米(Fermi)分布函数„在热平衡条件下，电子在不同能量的量子态上统计分布几率一定。服从Pauli不相容原理的电子遵循费米统计分布。„费米分布函数：能量为E的一个量子态被一个电子占据的几率f(E)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=TkEEEfF0exp11)(EF⎯⎯费米能级（化学势）NEfii=∑)(141oT=0K⎪⎩⎪⎨⎧=FFEEEEEf01)(2oT≠0K⎪⎩⎪⎨⎧==FFFEEfEEEEfEf2/102/112/1)(实际上，当E-EF5kBT时，f0.007当E-EF-5kBT时，f0.993室温kBT~26meVf(E)的性质f(EF)=1/2在EF以下kbT量级范围内的电子被热激发到EF以上，出现由f≈1到f≈0的过渡区域。⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=TkEEEfF0exp11)(15„温度不高时：…能量大于费米能级的量子态基本没有被电子占据；…能量小于费米能级的量子态基本上为电子占据。…各种温度下，电子占据费米能级的几率为1/2…温度越高，越多的电子从费米面下激发到费米面以上费米能级的物理意义⎯⎯标志了电子填充水平1.费米能级较高，说明由较多的量子态上有电子；2.随着温度升高，电子占据能量大于费米能级的量子态的几率增大。⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=TkEEEfF0exp11)(16玻耳兹曼(Boltzmann)分布函数当E-EFk0T（实际只要几个k0T）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−≈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=TkEETkEEEfFF00expexp11)(f0玻耳兹曼分布函数f(E)⎯⎯能量为E的量子态被电子占据的几率一般半导体材料的禁带宽度远大于k0T17(E-EF)Error00.51100%kT0.2690.368372kT0.1190.135144kT0.0180.01831.88kT0.000340.000340.034TkEEFe0)(11−+TkEEFe0)(−−181-f(E)⎯⎯能量为E的量子态被空穴占据的几率当EF-EkBT⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≈−TkEEEfBFexp)(1玻氏分布⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=−TkEEEfF0exp11)(1电子和空穴的多少依赖于费米能级的位置。费米能级越靠近导带－n型半导体；费米能级越靠近价带，－p型半导体19Fermi-Dirac统计律和Boltzmann统计律的差别„Fermi统计律受到泡利不相容原理的限制。„在E-Efk0T的条件下，量子态被电子所占据的几率很小，泡利原理失去作用，Bolzman统计律和费米统计律相同。„在半导体中，EF位于禁带内，而且于导带底和价带顶底距离远大于k0T，所以，对于导带中的电子分布可以用电子的boltzmann统计律来描写。„简并（统计简并）：服从费米统计率的电子系统称为简并性系统。0.00.51.0EFEcEv3*21223(2)()()2ncmdZVgEEEdEπ==−=状态密度：电子/空穴分布：0.00.51.0EFEcEv⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=TkEEEfF0exp11)(费米分布玻尔兹曼分布⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−≈TkEEEfF0exp)(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≈−TkEEEfBFexp)(1EEcEvgc(E)gv(E)21载流子浓度„电子浓度：单位体积内导带中的电子数(单位：1/cm3)电子：dEEgEfdNC)()(=空穴：[]dEEgEfdNV)()(1−=电子浓度＝VdNVN∫=22导带中电子都聚集在导带底价带中空穴都聚集在价带顶23计算电子：()()dETkEEEEmVdEEgEfdNBFCec⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−==exp22)()(2/132/3*2=π单位体积中()()dETkEEEEmVdNdnBFCe⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−==exp2212/132/3*2=π()()∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−==maxexp2212/132/3*2CCEEBFCedETkEEEEmdnn=π0热平衡将ECmax换成∞不影响结果()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=TkEEhTkmBFCBeexp2232/3*πNC∴⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=TkEENnBFCCexp0NC⎯⎯导带有效状态密度⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=TkEEgnBFCcEexp0())(expexp)(221/)(02/12/332/3*2maxTkEEdTkEETkEETkEETkmBCTkEEBcBCBFcBeBCC−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=∫−=π()2/exp02/1π=−∫∞dxxx⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=TkEENpBVFVexp0同理其中()32/3*22hTkmNBpVπ=价带有效状态密度⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=TkEENnBFCCexp0⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=TkEENpBVFVexp0其中()32/3*22hTkmNBpVπ=()32/3*22hTkmNcBeπ=说明，导带中电子浓度和价带中空穴浓度随着温度T和费米能级EF的不同而不同。温度的影响有两方面：1.Nc和Nv的影响2.玻尔兹曼分布的影响费米能级也受到温度和杂质情况的影响26载流子浓度乘积n0p0()TkENNTkEENNpnBgVCBVCVC−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=expexp00⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=TkETmmkpnBgpnexp)(24323**32000=πm03*2.33*1031电子和空穴乘积和费米能级无关，对于一定的半导体材料，乘积只决定于温度，而所含杂质无关。后面n型半导体载流子分布要用到。禁带宽度不同,n0p0乘积也不同。对于相同半导体，n越大，p越小MassActionLaw27§3.3本征半导体中的载流子统计本征半导体⎯⎯没有杂质和缺陷的半导体T=0K，价带全满，导带全空T≠0K，热激发，电子从价带激发到导带（本征激发）（本征费米能级）00pn=⎯⎯电中性条件⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−TkEENTkEENBVFVBFCCexpexp⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=CVBVCFNNTkEEEln22⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=**ln432epBVCmmTkEEiE=()32/3*22hTkmNBpVπ=()32/3*22hTkmNcBeπ=*pm和同数量级*em∴⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+**ln432epBVCmmTkEE∴一般情况下：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=**ln432epBVCFmmTkEEEECEiEV2VCFEEE+=费米能级在禁带中心偶尔有例外：锑化铟Eg=0.17eVmp/me=32,费米能级远在中心线之上29()()iBgVCnTkENNpn=−==2exp2/100注意点：1o对于某种半导体材料，T确定，ni也确定室温下Si1.5×1010cm-3Ge2.4×1013cm-32o斜率gBgEkE∝−=2本征载流子浓度⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=TkEENnBFCCexp0⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=TkEENpBVFVexp000pn=303o极限工作温度Si~520KGe~370KGaAs~720K⎯⎯“高温”半导体一般情况下，由于本征半导体的载流子浓度随温度变化很快，用本征材料作器件很不稳定。一般情况下会用含有适当杂质的半导体材料。如：硅器件中室温电阻率约为1Ωcm，是由于掺入5x1015cm-3的施主杂质锑造成的。要使器件正常工作，就要求本征载流子浓度占次要地位，也就是5x1014cm-3,对应的温度约为520K.所以硅器件的极限工作温度为520K.高于此温度，则器件工作不稳定。同理，因为锗的能带较小，斜率小，对应温度较低，约为370K.砷化镓能带大，斜率大，对应温度高。斜率gBgEkE∝−=2§3.4 杂质半导体的载流子浓度•杂质能级上的电子和空穴（单一杂质）–占据几率不能用费米分布来决定。原因：•施主能级不允许同时被两个自旋方向相反的两个电子所占据。能带中的能级⎯⎯可以容纳2 个电子↑↓↑↓全空杂质能级⎯⎯可以容纳1 个电子↑↓全空可以证明：(1) 电子占据施主能级的几率⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=TkEEgEfBFDDDexp111)((2) 空穴占