直线与椭圆的位置关系教案

个性化教案1直线与椭圆的位置关系适用学科高中数学适用年级高中二年级适用区域全国课时时长（分钟）60知识点点与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系教学目标理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式；教学重点直线与椭圆的位置关系教学难点椭圆的综合应用教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点1点与椭圆的位置关系提问学生：回忆点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系引出点与椭圆的位置关系1.点与椭圆的位置关系设点),(00yxP，椭圆标准方程为)0(12222babyax若点),(00yxP椭圆上，则1220220byax；若点),(00yxP在椭圆内，则1220220byax；个性化教案2若点),(00yxP在椭圆外，则1220220byax；考点/易错点2直线与椭圆的位置关系（1）通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系：相离：直线与椭圆没有交点；相切：直线与椭圆有唯一交点；相交：直线与椭圆两个交点；（2）判断直线与椭圆的位置关系设直线:,lykxm椭圆2222:1(0)xyMabab，联立直线与椭圆方程消去y得22222222()2()0akbxakmxamb记该一元二次方程的判别式为，则①当0时，直线与椭圆相交，有两个交点；②当0时，直线与椭圆相切，此时有一个交点；③当0时，直线与椭圆相离，没有交点.（3）弦长公式的推导设1122(,),(,)AxyBxy为椭圆上的两点，AB叫做椭圆的弦长.回忆两点间的距离公式，通过距离公式化简整理，得出弦长公式.212122111ABxxkyyk（其中k为直线AB的斜率）.三、例题精析【例1】已知椭圆)0(1:2222babyaxM的离心率为23，右顶点到左焦点的距离为32个性化教案3（1）求椭圆M的方程.（2）若直线20xym与椭圆M：①相交，②相切，③相离，求实数m的取值范围；（3）设直线txyl:与椭圆M相交于不同的BA,两点，令)(tfAB，求)(tf.【答案】（1）2214xy（2）①相交：5522m，②相切：52m，③相离：5522mm或（3）24()5,(5,5)5fttt【解析】（1）依据题意，则3223caac解方程组得2,3ac所以椭圆方程为2214xy（2）联立222014xymxy消掉y得225161640xmxm222(16)45(164)16(54)mmm①若直线与椭圆相交，则216(54)0m，解得5522m②若直线与椭圆相切，则216(54)0m，解得52m③若直线与椭圆相离，则216(54)0m，解得5522mm或（3）联立2214yxtxy消掉y得2258440xtxm因为直线与椭圆有两个交点，则226420(44)0tt，解得55t设1122(,)(,)AxyBxy，由韦达定理，则个性化教案41285txx，2124(1)5txx由弦长公式，则2212121()4ABkxxxx2284(1)2()455tt2455t所以24()5,(5,5)5fttt【例题2】已知椭圆22:12xMy，（1）求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；（2）过21(,)22Q的直线与椭圆M相交于,AB两点，且,AB关于点Q对称，求直线AB的方程；（3）过点(2,1)的直线l与椭圆M相交，求直线l被椭圆截得的弦中点的轨迹方程.【答案】（1）40xy，（2）2220xy，（3）222220xyxy【解析】(1)设平行弦中点坐标为00(,)xy，弦与椭圆对应的两个交点为11(,)xy，22(,)xy221122221212xyxy两式相减得12121212()()()()02xxxxyyyy化简整理得1212121222()yyxxxxyy又因为1201202,2xxxyyy，代入上式，得0040xy.所以平行弦中点的轨迹方程为：40xy（2）设33(,)Axy，44(,)Bxy，则个性化教案5223322441212xyxy两式相减得34343434()()()()02xxxxyyyy化简整理得121212122()yyxxxxyy又因为,AB关于点21(,)22Q对称，则34122,1xxyy所以1212121222()2AByyxxkxxyy故直线AB的方程为：2220xy（3）由点(2,1)的位置结合椭圆方程可知直线l的斜率必然存在，设弦中点坐标为(,)xy，则12lykx、、、、、、、、、、、、、、()i设直线与椭圆的两交点分别为5566(,),(,)xyxy，则56562,2xxxyyy又225522661212xyxy两式相减得56565656()()()()02xxxxyyyy化简整理得565656562()2lyyxxxkxxyyy、、、、、、、、、、、、、、()ii由()i()ii联立化简得，222220xyxy.所以弦中点的轨迹为：222220xyxy.【例题3】椭圆C的两焦点坐标分别为1(3,0)F和2(3,0)F，且椭圆过点3(1,)2（1）求椭圆C的方程；（2）过点6(,0)5作不与y轴垂直的直线l交该椭圆C于MN，两点，A为椭圆的左顶点，求证：MAN的大小为定值.个性化教案6【答案】（1）2214xy（2）见解析【解析】（1）依据题意3c，则223ab设椭圆方程为22221xyab，则221314ab，解得224,1ab，所以椭圆的标准方程为2214xy（2）当直线lx轴时，易得90MAN，下面给出证明依据题意，设直线65xty联立226544xtyxy消x可得221264(4)0525tyty设1122(,)(,)MxyNxy，，由韦达定理，则122125(4)tyyt，1226425(4)yyt、、、、、、、、、、()i(2,0)A，则11(2,)AMxy，22(2,)ANxy1212(2)(2)AMANxxyy21212416(1)()525tyytyy、、、、、、、、、、、、、、、、、、()ii将()i代入()ii整理得222222222264(1)4816(4)1[6464486416]025(4)25(4)25(4)25(4)tttttttttt所以90MAN，故为定值.四、课堂运用【基础】1.若直线2ymx与椭圆22142xy有且只有一个交点，求实数m的值.个性化教案7【答案】22m【解析】联立22224ymxxy消y得22(21)840mxmx因为直线与椭圆只有一个交点，则22644(21)40mm解得22m.2.直线yxa与椭圆2212xy相交于,AB两点，若423AB，求a的值.【答案】1【解析】联立2222yxaxy消去y得2234220xaxa21643(22)0aa恒成立，则aR设1122(,),(,)AxyBxy，由韦达定理，则1243axx，212223axx由弦长公式212122()4ABxxxx2248(1)422()333aa解得1a.【巩固】1.已知椭圆)0(12222babyax，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于BA,两点，直线l的倾斜角为60，且BFFA2,则椭圆的离心率为（）Ａ．52Ｂ．22Ｃ．12Ｄ．23【答案】Ｄ．【解析】（代数法）：设1122(,),(,)AxyBxy，由题意知10y，20y.个性化教案8直线l的方程为3()yxc，其中22cab.联立22223(),1yxcxyab得22224(3)2330abybcyb解得221222223(2)3(2),33bcabcayyabab因为2AFFBuuuruur，所以122yy.即2222223(2)3(2)233bcabcaabab解得离心率23cea.2.已知椭圆221169xy，12,ll是过点(0,)Pm且相互垂直的两条直线，问实数m为何值时，12,ll与椭圆都有公共点.【答案】[5,5]m【解析】由题知点(0,)Pm在y轴上运动，分两种情形讨论（1）当12,ll中有一条与x轴平行时，则必有一条是y轴，此时[3,3]m；（2）当12,ll中都不与x轴平行时，设1:lykxm，则21:lyxmk.1l与椭圆有公共点，即22()1169xkxm有实数根，整理得222(169)32161440kxkmxm222(32)4(169)(16144)0kmkm解得22916mk.2l与椭圆有公共点，同理可得2219()16mk当3m时，229()1516mm；又5m时，229259()11616m；个性化教案9而221,kk必有一个小于等于1，此时12,ll与椭圆不可能都有公共点.综上所述5m时，12,ll与椭圆都有公共点.即[5,5]m.【拔高】1.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于,AB两点，OBOA与(3,-1)a=共线．(1)求椭圆的离心率；(2)设M为椭圆上任意一点，且),(ROBOAOM，证明：22为定值．【答案】（1）63，（2）见解析【解析】：（1）设椭圆方程为)0(12222babyax，)0,(cF则直线AB的方程为yxc代入)0(12222babyax，化简得22222222()20abxacxacab设1122(,),(,)AxyBxy，由韦达定理，则2222222122221,2babacaxxbacaxx、、、、、、、、、、、、、、、()i由),(2121yyxxOBOA，)1,3(a，OBOA与a共线，得12123()()yyxx，又1122,yxcyxc所以12123(2)()0xxcxx、、、、、、、、、、、、、、()ii将()i代入()ii整理得：223ab,故离心率22613bea证明：由（1）知223ab,所以椭圆方程可以化为：22233byx，设),(yxOM，由已知得),(),(),(2211yxyxyx解得2121yyyxxx，因为M在椭圆上，代入整理得个性化教案10)1(3)3(2)()3(221212222221212byyxxyxyx)2(33332222222121byxbyx，由（1）知2321cxx，则222221,23cbca，则)3(8322222221cbabacaxx由)3)(2)(1(，则22121222212122222212123)3(2)(3)3(2)()3(byyxxbyyxxyxyx又因为：0329233)(34))((32222212121212121ccccxxxxcxcxxxyyxx所以222