2-1解析几何吕林根第四版

§2.1平面曲线的方程定义1当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之间有着关系：①满足方程的必是曲线上某一点的坐标；②曲线上任何一点的坐标满足这个方程，那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这个方程的图形。(),xy(),xy一、曲线的方程概括言之，曲线上的点和方程之间存在着一一对应的关系例1求圆心在原点，半径为R的圆的方程22222(1).(2.1.1)12.1.12.1.1).MxyMOROMRxyRxyR=+=+=解：由圆的定义，任意一点（，）在圆上的充要条件是到圆心的距离等于半径，即,由两点间的距离公式可得，两边平方可得方程（）与（）完全同解，所以（即为所求圆的方程222)-)().abRxaybR+−=类似可得圆心在（，半径为的圆的方程为（M0MR例2已知两点和，求满足条件的动点M的轨迹方程()2,2A−−()2,2B4MAMB−=22224222242MxyMAMBxyxy−=+++−−+−=解：动点（，）在轨迹上的充要条件是，即（）（）（）（），（）234320243222.xyxyxyxyM+−≥+≥=+≥方程（）与（）同解，而（）与（）却不同解，但附加条件。即后（）与（),（）都是同解的，所以方程（）为所求动点的轨迹方程yxoxy=222222222224222324xyxyxyxyxy+++=−+−+−+−=+−=移项得（）（）（）（），两边平方整理得（）（），（）再两边平方整理得，（）定义2若取的一切可能取值①由表示的向径的终点总在一条曲线上②在这条曲线上的任意点,总对应着以它为终点的向径,而这向径可由的某一值通过完全决定,那么就把叫做曲线的向量式参数方程，其中为参数。()tatb≤≤12()()()()rtxteyteatb=+≤≤()rtt()00tatb≤≤t(),()()xxtatbyyt=≤≤=二、曲线的参数方程其坐标式参数方程为：12()()()()rtxteyteatb=+≤≤12()()()()rtxteyteatb=+≤≤该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）例3一个园在一直线上无滑动地滚动，求圆上一定点的轨迹OAPCraaxy,,axPOxACrOPOAACCP==++解：取直角坐标系，设半径为的圆在轴上滚动，开始时点恰好在原点经过一段时间的滚动，圆与轴的切点移到点，圆心移到点，这时有OAPCraaxy2CPCAiCPπθθ==−+设（，），于是（，）（），cossin-sin-cos.22CPiajaaiajππθθθθ=−−+−−=+则（）（）（）（）OAAPaOAaiACajθθ====又因为，所以，，()()sin1cos).raiajPθθθθθ=−+−−∞+∞故即为所求点轨迹的向量式参数方程,其中（为参数axPOPxyP取直角坐标系，设半径为的圆在轴上滚动，开始时点恰好在原点，设点的坐标为(，),可得点的坐标式参数方程为()()2sin1)1cos200arccos221.xayaPayxaayyaθθθθθπθθπθ=−−∞+∞=−≤≤≤≤−=−−（），（（）取时，消去参数，可(先（）由解出再代入第（）式得点轨迹在时的）普通方程为(1)一个半径为r的小圆在半径为R的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一定点P的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）例4已知大圆半径为a，小圆半径为b，设大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，求动圆周上某一定点P的轨迹方程三、常见曲线的参数方程θϕPCABPAOOAxOOAyBCCOBrOPOCCP==+解：设运动开始时动点与大圆周上的点重合，并取大圆中心为原点,为轴，过点垂直于的直线为轴，经过一段时间后，小圆与大圆的接触点为,并设小圆中心为,则一定在半径上,显然有，圆的内摆线coscos)sinsin.).ababrabbiabbjbbθθθθθθ−−=−++−−−∞+∞（）（此式即为内旋轮线的向量式参数方程,（为参数θϕPCAB-cossiniOCCPCBOCiabjabθϕθθ===+−设（，），（，），则（）（），-abaaABPBbiCPCPbbbθϕϕθθϕθ−=======且有，所以，（，），又，cossinssinbabaCPibjbbbababibcojbbbθθθθ−−=+−−=−所以，coscos))sinsinPxyabxabbbabyabbbθθθθθ−=−+−∞+∞−=−−设点的坐标为（，），可得内旋轮线的坐标式参数方程为（），（（圆的内摆线33334cos34cos3cossin33sin4sincossin..abxayaθθθθθθθθ==−=−==特殊地，当时，应用公式，，，内旋轮线的方程化为这样的内旋轮线称为四尖点星形线四尖点星型线解:以定圆中心O为原心,OA为x轴.过O点垂直于OA的直线为y轴,设运动开始时动点P与A重合,经过某一过程后,动圆与定圆的接触点为B,设小圆中心为C,那么C.B.O三点共线,且OC=OB+BC=a+b,有.rOCCP→→→=+（2）一个半径为r的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动，小圆周上一个定点P的运动轨迹称为外摆线（epicycloid）(,),iocθ→→=(,).CBCPϕ→→=()(cossin).OCabijθθ→=++(1)设COAxyBCp(2)与X轴所成的有向角为(,)().icpθϕπ→→=+−cos()sin()cos()sin()CPbijbibjθϕπθϕπθϕθϕ→→→→→→=+−++−=−++−+从而..BPABbaϕθ==在滚动中.有.abϕθ∴=cossin.ababCPbibjbbθθ→→→++=−+−()coscos()sinsin.ababrabbiabbjbbθθθθ→→→++=+−++−()coscos()sinsinabxabbbabyabbbθθθθ+=+−+=+−()θ−∞+∞．它的坐标式参数方程为COAxyBCP2cos(1cos)2sin(1cos)xRyRθθθθ=−=−特别地，当R=r时，得到心脏线参数方程为：（3）把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆的渐伸线或切展线（involute）()()cossinsincosxRyRθθθθθθ=+=−OABPθrxy例把椭圆的普通方程式化为参数方程。12222=+byax法一)(sincosπθπθθ≤−==byax法二设y=tx+b,代入原方程得1)(2222=++bbtxax解得222220,abtxxbat==−+在第二式中取t=0,得x=0,所以舍去第一式,取22222tabbtax+−=从而222222)(tabtabby+−=第一种参数方程以角度为参数：θ第二种参数方程以斜率为参数tθOyxy=tx+b在法二中，若令u=-t，则得椭圆的另一种表示式为22222222222()()abuxbauubbauybau=+−∞+∞−=+注：第二种解法中，设y=tx+b，实际上是在椭圆上取一定点(0,b),作以(0,b)为中心的直线束，而这时的椭圆的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表达式。由于这过点(0,b)的y轴的斜率不存在，因此需补上点(0,-b)，或把它看成当t→∞时的交点。例化方程y2(2a-x)=x3(a0)为参数方程。解：设y=tx，代入可得参数方程)(12122322+∞−∞+=+=ttatytatx注1：有些曲线只能用参数方程表示而不能用普通方程表示，即不能用x,y的初等函数来表示，如++=++=tttyttextarcsinsinlg2注2：在曲线的普通方程与参数方程的互化时，必须注意两种形式的方程的等价性，即考虑参数的取值范围。