探求离心率(教学设计)

《课题名称》教学设计教学题目高三数学复习：探求离心率所选教材人民教育出版社版高中数学选修2-1圆锥曲线一、学习内容分析1.学习目标描述（知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观）知识与技能：能综合利用几何和代数的知识求解椭圆和双曲线的离心率问题；过程与方法：体会数形结合、分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想方法。情感态度与价值观：通过对离心率的教学，可以培养学生分析问题，解决问题的能力；以及逆向思维思考问题的思维习惯2.学习内容与重难点分析项目内容教学重点求解圆锥曲线离心率的取值和范围问题的基本方法。自主探究、小组合作教学难点在于如何建立不等关系定离心率的取值范围.展示交流、质疑释疑二、学习者特征分析（说明学生的已有知识基础、学习习惯等信息）本课的学习者是高三学生，经过高一高二训练，学生已熟练的掌握的圆锥曲线的定义，典型例题和常规方法。学生学习较积极，学习态度良好。高一高二一直由我任教，学生完全适应我的教学习惯。采用学案复习的方法，学案已提前一天由学生做好。上课只需加强说明和一题多解或者延伸教学。三、学习环境选择1．学习环境选择（B）A.简易多媒体教室B.交互式电子白板C.网络教室D.移动学习环境四、流程规划与活动设计（描述整体教学环节规划，按顺序说明每一环节中教学内容、呈现方式、教师活动、学生活动以及设计意图等）教学过程：典例探究：一、求离心率相关1、定义法。直接求出a、c，求解e已知标准方程或a、c易求时，可用离心率公式ace例1、椭圆2241xy的离心率为（）A．23B.43C.22D.32.解析：椭圆中，11,2ab，∴32c，离心率为23，选A。变式1、若椭圆2212xym的离心率为12，则m=8/3或3/2【设计意图】先定性判断椭圆的焦点位置，再定量计算椭圆的离心率。很多学生会把焦点在y轴上的情况漏掉。2、变用公式，整体求出e。根据题设条件，找出a、b、c的一次关系式，进而求出e例2、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A．13B．33C．12D．32解．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴2ab，椭圆的离心率32cea，选D变式2、若双曲线22ax－22by=1的渐近线与方程为3)2(22yx的圆相切，则此双曲线的离心率为．【答案】23、方程法。构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值。例3设双曲线x2a2﹣y2b2＝1(0ab)的半焦距为c，直线L过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线的距离为34c，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2或233D.233解析：由已知，直线L的方程为bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式，得aba2+b2＝34c，又c2=a2+b2,∴4ab=3c2,两边平方，得16a2(c2﹣a2)=3c4.两边同除以a4，并整理，得3e4-16e2+16=0.解得e2＝4或e2＝43.又0ab，∴e2＝c2a2＝a2+b2a2=1+b2a22，∴e2＝4，∴e＝2.故选A.变式3、如图，椭圆的左焦点F、上顶点B与右顶点A恰好构成以B为直角顶点的直角三角形，求此椭圆的离心率e.解：FBA为直角三角形，222FABAFB.2222)()(cacba，将222cab代入，整理得022aacc.两边同除以2a得012ee，251e（251e舍去）.【设计意图】一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a，b，c，e的一个方程，就可以从中求出离心率．但如果选择方法不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！如例4.4、数形结合。利用“焦点三角形”椭圆或双曲线上的一点P与两焦点1F、2F构成的三角形21FPF为“焦点三角形”.在椭圆中，2121PFPFFFe；在双曲线中，2121PFPFFFe.12212V例4、设椭圆的两个焦点分别为F、F，过F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若FPF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）2.2A21.2B.22C.21D[解法一]（大多数学生的解法）解：由于12FPF为等腰直角三角形，故有122FFPF，而122FFc，22bPFa所以22bca，整理得2222acbac等式两边同时除以2a，得221ee，即2210ee，yBAFxO解得28122e，舍去12e因此12e，选D[解法二]（采用离心率的定义以及椭圆的定义求解）解：如右图所示，有12222||||212122221ccceaaPFPFccc离心率的定义椭圆的定义故选D【设计意图】以上两种方法都是很好的方法，解法一是高手的解法，灵活运用了“通径”这个二级结论，使题目迎刃而解，但计算量偏大，耗时较长；而解法二则是老手，整个过程没有任何高级结论，只运用了最简单的、人人皆知的“定义”，通过几个简单的步骤即可。正所谓此时无法胜有法！变式4.设1F、2F分别为双曲线22221(0,0)xyabab＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足212PFFF，且2F到直线1PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为分析：由题意可知PF2=2c且2F到直线1PF的距离为2a，F1F1P为等腰三角形，所以PF1=b44a-4c222，又因为PF1-PF2=2a，所以a+c=2b，0a5-ac2-c322同除以2a得05-e2-e32解得35e5、比例性质法焦点的三角形中，若已知两个角，可用正弦定理及比例性质来求e例5、已知M为椭圆上一点，12,FF是其两个焦点。且1215MFF，2175MFF则椭圆的离心率为答案63二、求离心率的取值范围.一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式．离心率是描述圆锥曲线性质的一个关键量，它是一个比值，它与圆锥曲线的大小无关，只与其形状有关．在椭圆中，离心率越大，椭圆越扁平，离心率越小，椭圆越圆，椭圆离心率的取值范围e∈(0，1)；在双曲线中，离心率越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的“张口”逐渐增大，双曲线离心率的取值范围e∈(1，＋∞)；在抛物线中，离心率e＝1Pyx1F2F1AO1、利用圆锥曲线相关性质建立,ac不等关系求解.例6、双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（）A.(1,3)B.1,3C.(3,+)D.3,分析求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？解析1：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1||PF2|=|PF2|=2a，|PF2|ca即2aca∴3ac所以双曲线离心率的取值范围为13e，故选B.【设计意图】本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于ca）则可建立不等关系使问题迎刃而解.解析2：设2PFm，12(0)FPF，当P点在右顶点处，222(2)4cos254cos2mmmceam．11,(1,3]e．利用三角函数有界性【设计意图】根据第一定义结合余弦定理将离心率转化为角的函数，再利用三角函数求最值解析3：也可用三角形的三边关系求解，但注意取等条件．如图，在12PFFV中12121212,PFPFFFPFPFFF(后者在P与1A重合时取等)，又1222PFPFmmma，则22ac且362mac，(1,3]e．【设计意图】和焦点三角形相关的问题可以考虑用三角形三边关系来建立不等式．2、运用数形结合建立,ac不等关系求解例7、已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．(1,2]B.(1,2)C.[2,)D.(2,)解析欲使过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba，∴ba≥3，即3ba即2223caa∴224ca即2e故选C.【设计意图】此处利用双曲线几何性质，用所给定直线和渐近线的关系确定渐近线斜率范围，从而求出离心率范围．3、运用函数思想求解离心率例8、设1a，则双曲线22221(1)xyaa的离心率e的取值范围是A．)2,2(B.)5,2(C.)5,2(D.)5,2(解析：由题意可知22111()1(1)aeaa∵1a∴1112a∴25e，故选B.4、运用判别式建立不等关系求解离心率例9：在椭圆22221(0)xyabab上有一点M，12,FF是椭圆的两个焦点，若2212MFMFb，求椭圆的离心率.解析:由椭圆的定义，可得212MFMFa又2212MFMFb，所以21,MFMF是方程22220xaxb的两根，由22(2)420ab，可得222ab，即2222()aca所以22cea，所以椭圆离心率的取值范围是2[,1)2【设计意图】层层递进，求离心率范围的几种常见题型，逐步加深概念的理解，灵活应用已学知识进而求出深层次问题，提高学生的能力。三、一道求离心率范围的典型范例及其探究引例、若椭圆)0(,12222babyax短轴端点为P满足21PFPF，求椭圆离心率。【设计意图】试图让学生用运动的观点获得点P落在短轴端点时，该椭圆半焦距、短半轴长的相等关系，得到2221222222eeccba的结论。Fxyl1l2l典型范例、在椭圆)0(,12222babyax上有一点P，若21PFPF，求椭圆离心率取值范围。【设计意图】本题试图让学生用运动的观点，承接引例的解题思路获得动点P在椭圆上时bcOP，进而得到1,2221222222eeccba的结论变式1、已知21FF、是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且6021PFF，求椭圆离心率e的取值范围。分析：如果我们考虑几何的大小，我们发现当M为椭圆的短轴的顶点B1（或B2）时∠F1PF2最大（需要证明），从而有0＜∠F1PF2≤∠F1B1F2．根据条件可得∠F1B1F2≥60°，易得ca≥12．故12≤e＜1．证明，在△F1PF2中，由余弦定理得，22212121212cos2PFPFFFFPFPFPF2212122121212PFPFFFPFPF2222aca当且仅当PF1＝PF2时，等号成立，即当M与椭圆的短轴的顶点B1（或B2）时∠F1MF2最大．【设计意图】如果通过设椭圆上的点P(x，y)，利用椭圆本身的范围，也可以求出离心率e的范围．在本题中，运用此法可以做，但比较复杂（关键是点P的坐标不易表示）．因此，在解题过程中要注意方法的选择．变式2、在椭圆)0(,12222babyax内有一点P，且21PFPF，求椭圆离心率取值范围。分析：利用圆的几何性质判定轨迹为圆，再利用椭圆和圆的几何性质解题．一般地，cb时M点总在椭圆内部；acb时M点有4个在椭圆上；cb时M有2个在椭圆上，就是椭圆短轴的两个端点．【设计意图】本题意在希望学生通过直角三角形直角顶点的轨迹是一个以斜边为直径的圆的知识点，获得当椭圆内点P运动到y轴上时得到椭圆