对勾函数的性质及应用(史上上最完整版)

1对勾函数的性质及应用一、概念：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，故称“对勾函数”，也称“耐克函数”或“双勾函数”。二、对勾函数的图像与性质：解析式(0,0)byaxabx(0,0)byaxabx(0)ayxax图像定义域(,0)(0,)(,0)(0,)(,0)(0,)值域(,2][2,)abab(,2][2,)abab(,2][2,)aa特殊点(,2),(,2)bbAabBabaa(,2),(,2)bbAabBabaa(,2),(,2)AaaBaa奇偶性奇函数奇函数奇函数增区间(,),(,)bbaa(,0),(0,)bbaa(,),(,)aa减区间(,0),(0,)bbaa(,),(,)bbaa(,0),(0,)aa三、对勾函数的应用【题型1】函数()(0,0)afxxakxk此类函数可变形为()()afxxkkxk，则()fx可由对勾函数ayxx左右平移，上下平移得到【例1】函数1()2fxxx的值域为【解析】显然函数的定义域为|2xx，11()2222fxxxxx。①当2x时,20x,11()222(2)2022fxxxxx,当且仅当122xx，即1x取等号;2②当2x时,20x,11()222(2)2422fxxxxx,当且仅当122xx，即3x取等号;综上所述，函数1()2fxxx的值域为,04,。【例2】函数3()2xfxxx的值域为【解析】易知函数3()2xfxxx的定义域为|2xx，211()122xfxxxxx1212xx。①当2x时,20x,11()212(2)1322fxxxxx,当且仅当122xx，即3x时取等号;②当2x时,20x,11()212(2)1122fxxxxx,当且仅当122xx，即1x时取等号;综上所述，函数1()2fxxx的值域为,31,。【题型2】函数2()(0)axbxcfxacx。此类函数可变形为()cfxaxbx，可由对勾函数cyaxx上下平移得到。【例3】函数21()xxfxx的值域为【解析】函数21()xxfxx的定义域为|0xx，211()1xxfxxxx①当0x时，11()1213fxxxxx，当且仅当1xx，即1x时取等号;②当0x时，11()1211fxxxxx,当且仅当1xx，即1x时取等号;综上所述，函数1()2fxxx的值域为,13,.【题型3】函数2()(0,0)axfxabxb。此类函数定义域为R，且可变形为2()aafxbxbxxx(当0x时单调考虑。)类型0a0a3图像定义域(,)(,)值域[,]22aabb[,]22aabb奇偶性奇函数奇函数单调递增区间(,)bb(,),(,)bb单调递减区间(,),(,)bb(,)bb最值当xb时，max()2afxb当xb时，min()2afxb当xb时，min()2afxb当xb时，max()2afxb【例4】函数2()1xfxx的在区间2,上的值域为【解析】2x，21()11xfxxxx，函数1yxx在2,上单调递增，115222xx，当且仅当2x时取等号，即120()15fxxx。【例5】如2214xax，(1,2)x，则实数a的取值范围是【解析】由题可知，2214xax，令22()14xfxx，(1,2)x，2()14fxxx，4yxx在(1,2)x上单调递减，445xx，即111454xx，7231452xx，故7352a，得3725a。【题型4】函数2()(0)axbxcfxaxm.可变形为2()()()()(0)axmsxmttfxaxmsatxmxm，则()fx可由对勾函数tyaxx左右平移，上下平移得到。【例6】已知1x，求函数2710()1xxfxx的最小值。4【解析】由题可知，22710(1)5(1)44()(1)5111xxxxfxxxxx，1x，10x，44()(1)52(1)5911fxxxxx，函数2710()1xxfxx的最小值为9。【例7】已知1x，求函数299()1xxfxx的最大值。【解析】由题可知，2299(1)11(1)11()(1)11111xxxxfxxxxx，1x，10x，故11()(1)112(1)11911fxxxxx，故函数299()1xxfxx的最大值为9。【题型5】函数2()(0)xmfxaaxbxc这类型题目，可以令txm，得xtm，代入原函数，将其转化为关于t的函数求解。【例8】求函数21()2xfxxx在区间(1,)上的最大值。【解析】由题可知，令1,0txt，则1xt，2221()2(1)1234xttfxxxtttt，令2()34tgttt，故2111()43474323tgttttttt，当且仅当4tt，即2t，即3x时取等号。函数21()2xfxxx在区间(1,)上的最大值17。【例9】求函数2223()2xxfxxx在区间[0,)上的最大值。【解析】由题可知，2222223211()1222xxxxxxfxxxxxxx，0x，令1tx，1t则1xt，即222111()1111122(1)(1)222211xttfxxxtttttt221822177，当且仅当2tt，即2t取等号，故函数2223()2xxfxxx在区间[0,)上的最大值为8227。类型八：函数()xbfxxa.此类函数可变形为对勾函数的标准形式，即()(0)xababafxxabaxaxa。【例10】求函数3()1xfxx的最小值。5【解析】由题可知，函数3()1xfxx的定义域为(1,)，144()111xfxxxx42141xx，当且仅当411xx，即3x时取等号。【例11】求函数2()3xfxx的值域。【解析】由题可知，函数2()3xfxx的定义域为2,，22()321xxfxxx①当2x时，()0fx;②当2x时，2111()1212122222xfxxxxxx，当且仅当122xx，即1x时取等号，此时10()2fx。综上所述，函数2()3xfxx的值域为10,2。类型九：函数22()(0)xbfxaxa。此类函数可变形为标准形式：22222()()(0)xababafxxabaxaxa.【例12】求函数225()4xfxx的最小值。【解析】由题可知，函数2222225411()4444xxfxxxxx，令242tx，则1()()fxgttt，显然在2,上单调递增，故min15()(2)222gtg，此时0x，故函数225()4xfxx的最小值为52。【例13】求函数221()17xfxx的值域.【解析】由题可知，函数222211()161161+1xfxxxx，令211tx，故6111()()168162fxgttttt，故函数221()17xfxx的值域为10,8。类型二：斜勾函数byaxx(0)ab类型0,0ab0,0ab定义域(,0)(0,)(,0)(0,)值域RR奇偶性奇函数奇函数单调性在(,0),(0,)上单调递增在(,0),(0,)上单调递减