第7章多元函数的微分

1第七章多元函数微分学7.1空间解析几何的基本知识7.2二元函数的概念7.3二元函数的极限与连续7.4二元函数的偏导数与全微分7.5二元复合函数的求导法则7.6二元函数的极值7.7最小二乘法2x横轴y纵轴z竖轴定点O空间直角坐标系,三条坐标轴的点O叫做坐标原点正方向符合右手规则：即以右手握住z轴,当右手的四个手指从正向x轴以2角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向.1.空间直角坐标系Oxyz称坐标系7.1空间解析几何的基本知识3ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧxyzO空间直角坐标系共有八个卦限面xOy面yOz面zOxⅦ4过此点向三条坐标轴分别作设空间中任意点,M垂直的平面，,,,zyx交于坐标轴上的点分别记为,P,Q,ROxyzR)(zQ)(yP)(xM设,P,QR在各自所在坐标轴上的坐标分别为的坐标记为则点M),,(zyxM横坐标纵坐标竖坐标),,(zyx空间的点有序数组),,(zyx115特殊点的表示:)0,0,0(O坐标轴上的点：,P,Q,R坐标面上的点：,A,B,COxyzB),,0(zyR),0,0(zA)0,,(yxQ)0,,0(yP)0,0,(x),,(zyxM注意：坐标面和坐标轴上的点的特征6P?21MMd21PM、设),,(1111zyxM),,(2222zyxM为空间两点.2PN22NM2d在直角三角形21NMM和PNM1中,用勾股定理,121xxPM,12yyPN122zzNM2.空间两点间点的距离22221NMPNPMdxyzO2M1MRQNd7若两点分别为,),,(zyxM)0,0,0(OOMd222zyx特殊地21221221221zzyyxxMM空间两点间距离公式空间两点间距离公式与平面直角坐标系中两点间是平面两点间距离公式距离公式有类似的表达形式，的推广.8解设P点坐标为)0,0,(x1PP2223)2(x112x2PP2221)1(x22x1PP22PP112x222x1x所求点为),0,0,1()0,0,1(例)3,2,0(,1PxP它到点轴上在设的距离为到)1,1,0(2P点的距离的两倍,求点P的坐标.9解设满足条件的点为),,(zyxM1MM222)1()1()1(zyx2MM222)1()1()2(zyx1MM2MM03442zyx易得例求到两定点)1,1,2()1,1,1(21MM与的点的轨迹方程.距离相等此即为所求点的轨迹方程.平面方程三元一次方程100DCzByAx平面的一般方程任意一个形如上式的x、y、z的三元一次方程都是平面方程.x轴上截距y轴上截距z轴上截距1czbyax平面的截距式方程11解RMM||0202020)()()(zzyyxx2202020)()()(Rzzyyxx所求方程为.),,(0000的点的轨迹方程距离为求与点RzyxM.球面方程例),,(zyxM设是所求轨迹上任一点,R12曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.曲面方程的定义(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程;(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;如果曲面S0),,(zyxF有下述关系:那么,0),,(zyxF方程就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程的图形.与三元方程xyzOS3.曲面与方程0),,(zyxF13定义平行于定直线并沿定曲线C这条定曲线C称为柱面的动直线L称为柱面的准线,母线.所形成的曲面称为移动的直线L柱面.LC准线母线4.几种特殊的曲面1）柱面15例讨论方程的图形.222Ryx在xOy面上,222Ryx解表一个圆C.在空间,222Ryx就是圆柱面方程.xyzO1MM该方程的图形是以xOy面上圆为准线,母线平行于z轴的柱面.L截痕法:用平行于xOy的平面去截此平面，截痕为圆！1622224xyz222242.xy截痕法去截一个曲面，用平面这个平面叫截平面，所得曲线叫截曲线.xOy即坐标面，截痕只有一个点.截痕法是研究空间曲面的一种常用方法.从几何背景上看，cz截痕为该平面上的一条曲线，分析不同截平面所得的截曲线可知曲面的性状.例用截痕法研究曲面截平面为截曲线为大圆；截平面为截曲线为圆,2z截平面为,44zz或,0z17其大小随平面位置的变化而变化.与各坐标面平行的截平面椭圆.所得的截痕均为zxyO2）二次曲面1222222czbyax)0,0,0(cbaxyzO椭球面18单叶双曲面1222222czbyax特点是:平方项有一个取负号,另两个取正号.OxyzxyzO椭圆双曲线191222222czbyax1222222czbyax或特点是:平方项有一个取正号,另两个取负号.它分成上、下两个曲面.注xyzO双叶双曲面椭圆抛物线双曲线20zxyoxyzozbyax2222zbyax2222椭圆抛物面椭圆抛物线21zbyax2222截痕双曲抛物面（马鞍面）xyzo双曲线抛物线24邻域设P0(x0,y0)是xOy平面上的一个点,几何表示：Oxy.P0})()(),({),(20200yyxxyxPU,0邻域的点P令,0).(0PU有时简记为称之为将邻域去掉中心,注称之为去心邻域.),(0PU二元函数的定义域：25曲线称为边界线，区域不包含边界线的区域称为开区域.整个xOy平面或xOy平面上一条或几条曲线围成的一部分平面，称为一个平面区域，围成这个区域的包含边界线的区域称为闭区域，OxyOxy有界开区域有界闭区域26例把下面图中的阴影所示的区域表示出来.oR-RyxOxy0yx}0),({yxyxD0yx}),({222RyxyxD222Ryx有界闭区域无界开区域27例求下面函数的定义域解Oxy无界闭区域xyz.1和00yx00yx即定义域为,0xy281解Oxy12.22222yxyxxz1)1(22yx定义域是122yx且有界半开半闭区域292.二元函数的表示法：),(yxfzDMxyP通常为曲面图像法、表格法、解析式法二元函数的图像xyzO30(,)sinfxyxy2222zxy-101-101-1-0.500.51-101-2-1012-2-1012-505-2-1012例用数学软件Mathematica作出的二元函数和的图像.(,)sinfxyxy2222zxyPlot3DSinxy,x,1,1,y,1,1Plot3D2x^22y^2,x,2,2,y,2,231设二元函数的常数A，),(yxfz7.3二元函数的极限与连续定义1在点),(00yx的空心邻域内有定义，如果点),(yx以任何方式趋于),(00yx时，),(yxf对应的函数值都趋于一个确定记作Ayxfyxyx),(lim),(),(00),(yxfzA为则称的极限.时当),(),(00yxyx(x,y)趋向于(x0,y0)的路径也是多种多样的.注方向有任意多个,),(lim00yxfyyxx32相同点二元函数的极限与一元函数的极限的一元函数在某点的极限存在的充要定义相同.差异为必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋而二元函数于P0时,相同点和差异是什么条件是左右极限都存在且相等;函数都有极限,且相等.33设函数讨论当P(x,y)沿x轴的方向当P(x,y)沿y轴的方向)0,(lim0xfx),0(lim0yfy也有0,00,),(222222yxyxyxxyyxf解：22000limxxx00lim0x22000limyyy00lim0y函数的极限是否存在.,00）点处，在（无限接近点(0,0)时,同样,无限接近点(0,0)时,例34函数的极限存在且相等.当P(x,y)沿直线y=kx的方向2200limyxxyyx22220limxkxkxkxyx21kk其值随k的不同而变化.所以,极限不存在．说明函数取上面两个无限接近于点(0,0)时,事实上,无限接近点(0,0)时,特殊方向能否做结论极限存在35设二元函数则称函数定义2),,(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx如果连续.),(),(000yxPyxf在点如果函数f(x,y)在开区域(闭区域)D内的每一点连续,则称函数在D内连续,),(yxf或称函数),(yxf是D内的连续函数.),,(yxfz二元函数的连续性36称为多元初等函数,积、商（分母不为零）及复合仍是连续的.同一元函数一样,二元连续函数的和、差、每个自变量的基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合,由一个式子表达的函数连续的.在其定义区域内亦是3722(,)xyfxyxy(,)(1,3)lim(,)xyfxy(,)(0,0)xy(,)(1,3)lim(,)(1,3)0.3xyfxyf讨论二元函数是否连续，并求这个函数是二元初等函数，的区域有定义，.因此连续.例解：在所以38有界闭区域上连续的二元函数的性质一定有最大值和最小值．介于这两个值之间的任何值．(1)最大值和最小值定理(2)介值定理在有界闭区域D上的二元连续函数,在D上在有界闭区域D上的二元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它可以在D上取得二元函数的极限、连续的定义及相关性质都可以推广到多元函数上去.注391、偏导数定义),(yxfz设函数,0yy固定为将),(00yxfx处在点),(),(00yxyxfz的某邻域在点),(00yx有定义，,),(0的一元函数是这时xyxfz若此函数则称这个导数为函数xyxfyxxfx),(),(lim00000记为对x的偏导数,7.4二元函数的偏导数与全微分,0的导数存在在x,00yyxxxz,00yyxxxf,00yyxxxz或).,(00yxfx即40同理,可定义函数处在点),(),(00yxyxfz即),(00yxfyyyxfyyxfy),(),(lim00000记为,00yyxxyz,00yyxxyf,00yyxxyz或).,(00yxfy对y的偏导数,)(0xx固定为将41那么这个偏导数仍是yx、的二元函数,它就称为函数如果函数对自变量x的偏导函数(简称偏导数),记作,xz,xfxz或).,(yxfx同理,可定义函数),(yxfz对自变量y的偏导函数,记作,yz,yfyz或).,(yxfy在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在,),(yxfz),(yxfz42偏导数的概念可以推广到二元以上函数.求多元函数的偏导数利用一元函数),,(yxfx如求只需将y的求导法对x求导即可.看作常量,并不需要新的方法,43例求的偏导数.)0(xxzy解,1yyxxzxxyzyln例求在点(1,0)处的两个偏导数.yyxzsin2解,2xyxz,cos2yxyz,0)0,1(xz.2)0,1(yz44证VRTp;2VRTVppRTV;pRTVRpVT;RVpTpTTVVp2VRTpRRV.1pVRT1:pTTVVp求证,,,,为常数为温度为体积为压强RTVp例其中程已知理想气体的状态方,RTpV452、偏导数的几何意义),(yxfz设二元函数)),(,,(00000yxfyxM设曲面上点在点),(000yxM有如图,偏导数.0M),(yxfzyxzO过点0M作平面,0yy此平面与曲面相交得一曲线,曲线的方程为),,(yxfz.0yy),(0yxfz由于),(00yxfx为一元函数的导数，),(