机器人动力学

1▲牛顿—欧拉运动方程▲拉格朗日动力学▲关节空间与操作空间动力学•前面我们所研究的机器人运动学都是在稳态下进行的，没有考虑机器人运动的动态过程。实际上，机器人的动态性能不仅与运动学相对位置有关，还与机器人的结构形式、质量分布、执行机构的位置、传动装置等因案有关。机器人动态性能由动力学方程描述，动力学是考虑上述因素，研究机器人运动与关节力(力矩)间的动态关系。描述这种动态关系的微分方程称为机器人动力学方程。机器人动力学要解决两类问题：•动力学正问题和逆问题。•动力学正问题是——根据关节驱动力矩或力，计算机器人的运动(关节位移、速度和加速度)；•动力学逆问题是——已知轨迹对应的关节位移、速度和加速度，求出所需要的关节力矩或力。•不考虑机电控制装置的惯性、摩擦、间隙、饱和等因素时，n自由度机器人动力方程为n个二阶耦合非线性微分方程。方程中包括惯性力/力矩、哥氏力/力矩、离心力/力矩及重力/力矩，是一个耦合的非线性多输入多输出系统。对机器人动力学的研究，所采用的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法、牛顿一欧拉(Newton—Euler)、高斯(Gauss)、凯恩(Kane)、旋量对偶数、罗伯逊一魏登堡(Roberson—Wittenburg)等方法。•研究机器人动力学的目的是多方面的。•动力学正问题与机器人的仿真有关；•逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。在设计中需根据连杆质量、运动学和动力学参数、传动机构特征和负载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方案，验算设计方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。•在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型仿真。这些都需要以机器人动力学模型为基础。•研究机器人动力学的目的•5.1机器人静力学•机器人静力学研究机器人静止或者缓慢运动时作用在手臂上的力和力矩问题，特别是当手端与外界环境有接触力时，各关节力矩与接触力的关系。•下图表示作用在机器人手臂杆件i上的力和力矩。其i-1fi为杆件i-1对杆i的作用力，-ifi+1为杆i+1对杆i的作用力，i-1Ni为杆件i-1对杆i的作用力矩，-iNi+1为杆i+1对杆i的作用力矩，ci为杆i质心。•作用在杆i的力和力矩•根据力、力矩平衡原理有•5.2机器人动力学正问题•机器人动力学正问题研究机器人手臂在关节力矩作用下的动态响应。其主要内容是如何建立机器人手臂的动力学方程。建立机器人动力学方程的方法有牛顿—欧拉法和拉格朗日法等。•1、牛顿—欧拉法方程•在考虑速度与加速度影响的情况下，作用在机器人手臂杆i上的力和力矩如右图所示。其中vci和ωi分别为杆i质心的平移速度向量和此杆的角速度向量。•根据力、力矩平衡原理有:•5-1•5-2•称5-1为牛顿方程，5-2为欧拉方程。•其中Ii为杆i绕其质心的惯性张量•2、拉格朗日方程•牛顿一欧拉运动学方程是基于牛顿第二定律和欧拉方程，利用达朗伯原理，将动力学问题变成静力学问题求解。该方法计算快。拉格朗日动力学则是基于系统能量的概念，以简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，并具有显式结构，物理意义比较明确。•(1)拉格朗日函数•对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能Ek与总的势能Ep之差，即:(,)(,)()kpLqqEqqEq12[]nqqqq12[]nqqqq•表示动能与势能的广义坐标•相应的广义速度•(2)机器人系统动能•在机器人中，连杆是运动部件，连杆i的动能Eki为连杆质心线速度引起的动能和连杆角速度产生的动能之和，即:1122TiTiikiiciciiiiEmI1nkkiiEE1(,)()2TkEqqqDqq•系统的动能为n个连杆的动能之和，即：•由于和是关节变量和关节速度的函数，因此，从上式可知，机器人的动能是关节变量和关节速度的标量函数，记为，可表示成：1(,)()2TkEqqqDqqciiiqq(,)kEqq•式中，是nxn阶的机器人惯性矩阵()Dq•3．机器人系统势能•设连杆i的势能为，连杆i的质心在O坐标系中的位置矢量为，重力加速度矢量在坐标系中为g，则：••机器人系统的势能为各连杆的势能之和，即：•••它是q的标量函数。TpiiciEmgp1npipiiEEpiEcip•4．拉格朗日方程•系统的拉格朗日方程为：••上式又称为拉格朗日—欧拉方程，简称L—E方程。式中，是n个关节的驱动力或力矩矢量，上式可写成：pkkEEEddtqqqdLLdtqq•[例]平面RP机器人如图所示，连杆l和连杆2的质量分别为m1和m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯量矩阵为：1111100000xxyyzzIIIiI2222200000xxyyzzIIIiI•(1)取坐标，确定关节变量和驱动力或力矩•建立连杆D-H坐标系如上图所示，关节变量为θ1+π/2为求解方便，此处取关节变量为θ1和d2，关节驱动力矩τl和力f2。•(2)系统动能•由式(1)，分别得2221111111122kyyEmlI2222222122111()22kyyEmddI222211122212211()22kyyyyEmlIImdmd1122TiTiikiiciciiiiEmI•…1•总动能为：•(3)系统势能•因为：[00]Tgg11111[0]Tcplcls111111TpcEmgpmgls222221TpcEmgpmgds11221()pEgmlmds•则：•总势能为：22111222122()yyyykmlIImdEqmd22210kEmdq1122121()pEgmlmdcgmsq•(4)偏导数2211112221221211221222222121()2()yyyymlIImdmddgmlmdcmdmdmgs•(5)拉格朗日动力学方程•将偏导数代入拉格朗日方程，得到平面RP机器人的动力学方程的封闭形式：pkkEEEddtqqq•拉格朗日方程•…2()(,)()DqqHqqGq2211122220()0yyyymlIImdDqm221222212(,)mddHqqmd1122121()()mlmdgcGqmgs•(1)关节空间动力学方程•将式2写成矩阵形式：•3、关节空间与操作空间动力学•式中•…3•式(3)为机器人在关节空间中的动力学方程封闭形式的一般结构式。它反映了关节力或力矩与关节变量、速度和加速度之间的函数关系。对于n个关节的机器人，是n×n正定对称矩阵，是q的函数，称为机器人惯性矩阵；是n×1的离心力和哥氏力向量；是n×1重力矢量，与机器人的形位q有关。()Dq(,)Hqq()Gq()(,)()xxxFMqxUqqGq•2．操作空间动力学方程•与关节空间动力学方程相对应，在笛卡尔操作空间中，操作力F与末端加速度之间的关系可表示为：x()xMq(,)xUqq()xGq•……操作空间中的惯性矩阵•……离心力和哥氏力矢量•……重力矢量xF•……广义操作力矢量•……机器人末端位姿向量()TJqF()xJqq()()()(,)rxJqqJqqJqqaqq()()()()TxDqJqMqJq(,)()(,)()9)(,)TTxrHqqJqUqqJqqaqq()()()TxGqJqGq•由上一章可知，广义操作力和关节力之间的关系为：•操作空间与关节空间之间的速度与加速度的关系：•比较关节空间与操作空间动力学方程，可以得到：()[()(,)()]TxxxJqMqxUqqGq•3．关节力矩—操作运动方程•机器人动力学最终是研究其关节输入力矩与其输出的操作运动之间的关系．由式(4)和(5)，得(6)：()(,)()xxxFMqxUqqGq()TJqF•……4•……5•……6•式(6)反映了输入关节力与机器人运动之间的关系。•思考题1•什么是拉格朗日函数？简述用拉格朗日方法建立机器人动力学方程的步骤。