惠州市2020届高三第二次调研考试理科数学试题及答案解析

第1页，共6页惠州市2020届高三第二次调研考试理科数学全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．集合M＝{x|lgx0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝（）.A．(-2,0)B．[1,2)C．(1,2]D．(0,2]2．设复数z满足(1)1izi（其中i为虚数单位），则z（）.A．iB．iC．2iD．2i3．已知nS为数列{}na的前n项和，1nnSa，则5S（）.A．3116B．312C．132D．31324．已知,ab为互相垂直的单位向量，若=−cab，则cos,bc（）.A．22B．22C．33D．335．下列说法正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②某地气象局预报：5月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学．③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好．④在回归直线方程中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位．A．①②B．③④C．①③D．②④101.0ˆ+=xyyˆ第2页，共6页6．若31cos23−=，且22−，则sin2的值为（）.A．429−B．229−C．229D．4297．设:p实数,xy满足()()22112xy−+−，:q实数,xy满足1,11yxyxy−−，则p是q的（）条件.A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分也不必要8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40=3+37．在不超过40的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于40的概率是（）.A．115B．117C．122D．126【注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数。】9．函数1()ln1fxxx=−−的图象大致是（）.A.B.C.D.10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知1F、2F是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260FPF=时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A．3B．2C．233D．2第3页，共6页11．已知矩形ABCD，1AB=，3BC=，将ADC沿对角线AC进行翻折，得到三棱锥DABC−，则在翻折的过程中，有下列结论：①三棱锥DABC−的体积最大值为31；②三棱锥DABC−的外接球体积不变；③三棱锥DABC−的体积最大值时，二面角DACB−−的大小是60°；④异面直线AB与CD所成角的最大值为90．其中正确的是（）.A．①②④B．②③C．②④D．③④12．设函数mxxfsin3)(=，若存在)(xf的极值点0x满足22020)(mxfx+，则m的取值范围是（）.A．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空3分，第二空2分。13．已知函数3()lnfxaxx的图象在点(1,(1))f处的切线斜率为2，则a的值等于_________．14．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本。若样本数据1x，2x，，100x的方差为8，则数据121x−，221x−，，10021x−的方差为_________．15．设x、y为正数，若12yx+=，则12xy+的最小值是，此时x=．16．已知椭圆()222210xyabab+=的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是1F，2F，且1FAB△的面积为232−，点P为椭圆上的任意一点，则1211PFPF+的取值范围是.第4页，共6页三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（本小题满分12分）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,cab，已知2a，5b=，2BA=．（1）求cosA；（2）求c边的值．18．（本小题满分12分）在数列{}na中，11a，283a，1111nnnnaan++=++，其中*nN，为常数．（1）求的值；（2）设nnabn，求数列{}nb的通项公式．19．（本小题满分12分）如图，在底面为矩形的四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD．（1）证明：ABPD；（2）若,90PAPDABAPD，设Q为PB中点，求直线AQ与平面PBC所成角的余弦值．PABCD第5页，共6页20．（本小题满分12分）已知抛物线2:2Cyx的焦点为F，直线l与C交于,AB两点，且与x轴交于点(,0)Pa．（1）若直线l的斜率32k，且32FP，求AFBF的值；（2）若0a，x轴上是否存在点M，总有OMAOMB？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数122()lnxefxaxxx−=+−（a为常数）在区间()0,2内有两个极值点()1212,xxxx．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：()1221lnxxa++．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。22．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为cos1sinxy==+(为参数)．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求圆C的普通方程及其极坐标方程；（2）设直线l的极坐标方程为sin()23+=，射线:6OM=与圆C的交点为P（异于极点），与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．第6页，共6页23．（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]已知关于x的不等式20xmx−+的解集为{|2}xx−，其中0m.（1）求m的值；（2）若正数a、b、c满足abcm++=，求证：2222bcaabc++.数学试题（理科）答案第1页，共12页惠州市2020届高三第二次调研考试理科数学参考答案与评分细则一、选择题：题号123456789101112答案CBDABAACBACC1．【解析】1,|22MxxNxx==−，所以(12MN=，，故选C．2．【解析】(1)z1ii+=−，21(1)2z1(1)(1)2iiiiiii−−−====−++−，z的共轭复数为zi=，故选B．3．【解析】11121nnnnSanSa−−=−=−时，，两式相减，整理得111112,,22nnnnaaaaa−−===，所以na是首项为12，公比为12的等比数列，55111223113212S−==−，故选D．4．【解析】代数法：2222()12cos,22()2aaaaabcbbbbbcbcbbb,故选A.几何法：5．【解析】①属于系统抽样，故错误；②概率只说明事件发生的可能性，某次试验中不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故错误；③④正确.故选B．6.【解析】3π11cossin,sin,,cos233ππ22223−=−==−−=，12242sin22sincos2339==−=−，故选A.7．【解析】如图：，由集合的包含关系可知选A．8．【解析】不超过40的素数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37，共12个数，其中4033711291723=+=+=+，共3组数，所以其和等于40的概率为：2123122C=．故选C．数学试题（理科）答案第2页，共12页9．【解析】解法一：定义域为(0,1)(1,)x+，故排除A；(100)0f，排除C；1()0100f，排除D；故选B．解法二：设()ln1gxxx=−−，(1)0g=，'1()1gxx=−，当(1,)x+，'()0gx，()gx单调增，当(0,1)x，'()0gx，()gx单调减，则()(1)0gxg=．故1()ln1fxxx=−−的定义域为(0,1)(1,)x+，且()fx在(0,1)x上单调增，(1,)x+上单调减，()0fx，故选B．解法三：1()ln1fxxx=−−定义域为(0,1)(1,)x+，故排除A；当0x→时，()1ln1,0ln1xxxx−−→+−−，排除D；当x→+时，1ln10,0ln1xxxx−−−−，排除C；故选B．10.【解析】设椭圆、双曲线离心率分别为1212,cceeaa==，设12,PFxPFy==，由椭圆、双曲线定义得1122122,2xyaxaaxyayaa+==+−==−，在12PFF中，由余弦定理得()()()222222120121222122421coscos60,,3.222aacxycFPFaaxyaa+−+−====−又2221212221221,,3,3.ccceeaacaceaaa======故选A.11.【解析】①13DABCABCVSh−=，当平面ADC⊥平面ABC时，三棱锥DABC−的高最大，此时体积最大值为1131133224DABCV−==，①错误；②设AC的中点为O，则由,RtABCRtADC知，OAOBOCOD===，所以O为三棱锥DABC−外接球的球心，其半径为112AC=，所以外接球体积为43，即三棱锥DABC−的外接球体积不变，②正确；③由①的解析过程知，三棱锥DABC−的体积最大值时，平面ADC⊥平面ABC，所以二面角DACB−−的大小是090，③错误；④当ADC沿对角线AC进行翻折到使点D与点B的距离为2，即2BD=时，在BCD中，222BCBDCD=+，所以CDBD⊥，又CDAD⊥，翻数学试题（理科）答案第3页，共12页折后此垂直关系没有变，所以CD⊥平面ABD，所以CDAB⊥，即异面直线AB与CD所成角的最大值为090，④正确.故选C．12．【解析】当()2xkkZm=+，即212kxm+=时，()fx取得极值3。存在0x使22020)(mxfx+成立，亦即存在k使()()22123120kkm−++成立，因此，只需()()2123kk−+最小即可，即0k=或1k=−时不等式成立即可，所以23120m−+，即24m，所以()(),22,m−−+.故选C．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空3分，第二空2分。13．3114．3215.4（3分），12（2分）16．14，【16题注】①求出的范围区间端点开闭错误不给分。②写成：121114PFPF+、|14（集合元素一般形式用题目以外的字母表示）不扣分。③写成以下四种形式不给分：|14xx，|14yy，|14aa，|14bb。13．【解析】()()'2'113,1312,.3fxaxfaax=+=+==14．【解析】样本数据1x，2x，，100x的方差为8，所以数据121x−，221x−，，10021x−的方差为22832=.15．【解析】1212222224222yyxyxxxyxyxyxy+