陈仁间整理之行程问题陈仁间整理之行程问题五、环形跑道相遇问题例1.在一个圆形跑道上,甲从A点、乙从B点同时出发反向而行,8分钟后两人相遇,再过6分钟甲到B点,又过10分钟两人再次相遇,则甲环行一周需要多久?解析:设跑到全长为S,甲乙第一次相遇共同走了AB,第二次相遇走了S+AB,第一次相遇两人走了8分钟,第二次相遇又走了6+10=16分钟,故两人共同走AB时间是走全长S时间的一半,根据速度和不变情况下,时间与路程成正比,故AB=0.5S,甲走AB用时6+8=14分钟,故甲环形一周用时28分钟。(16+6)÷8=2(全程是AB的2倍)(6+8)×2=28(分钟)答:甲环行一周需要28分钟。2.甲、乙二人以匀速绕圆形跑道相向跑步,出发点在圆直径的两端。如果他们同时出发,并在甲跑完60米时第一次相遇,在乙跑一圈还差80米时两人第二次相遇,求跑道的长度?解析,由上题的方法可知,甲乙二人第二次相遇共跑了一圈半,而此时甲跑了60*3=180米,已跑了全长减去80米,故1.5S=S-80+180,解得全长S等于200米。解:设全长为x米。1.5x=x-80+60×3X=200答:跑道的长度为200米。例3.甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒钟3米,乙的速度是每秒钟2米。如果他们同时分别从直路的两端出发,10分钟内共相遇了几次?分析:第一次相遇时行一个全程,用时:90÷(2+3)=18S;此后每次相遇都行两个全程,都用时18×2=36秒,(600-18)÷36=16……4,故10分钟内二者相遇了16+1=17次。90÷(2+3)=18(秒)(10×60-18)÷(18×2)=16……416+1=17(次)答:10分钟内共相遇了17次例4.甲、乙在椭圆形跑道上训练,同时从同一地点出发反向而跑,每人跑完第一圈回到出发点立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时,乙的速度是甲的速度的2/3,甲跑第二圈时速度比第一圈提高了1/3,乙跑第二圈时速度比第一圈提高了1/5,已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米,这条椭陈仁间整理之行程问题陈仁间整理之行程问题圆形跑道多长?解析:如下图所示,A点为出发点,因跑第一圈时,乙的速度是甲的速度的2/3,故第一次相遇点B距A为全程的3/5,当甲跑完一圈到达A点时,乙到达C点,距离A点为1/3,此时甲加速1/3,甲乙速度比变为2:1,故当乙跑完一圈到达A点时甲到达了C点,二者距离为全程的1/3,此时乙加速1/5,甲乙速度比变为4:12/5=5:3,此时变为路程为全长1/3的相遇问题,当甲乙第二次相遇时,乙走了全长1/3的3/8,也就是全长的1/8,所以两次相遇点之间距离BD为全长的3/5-1/8=19/40,故椭圆形跑道全长为190÷19/40=400米。全程的1/3的相遇时乙返回的路程:【2×(1+51)】÷【3×(1+31)+2×(1+51)】×31=81190÷(323-81)=400(米)答:椭圆形跑道全长为400米。例5.在400米环形跑道上,A、B两点相距100米。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发,按逆时针方向跑步。甲5米/秒,乙4米/秒。每人每跑100米,都要停10秒钟。那么,甲追上乙需要多少秒钟?分析:100÷(5-4)=100秒,100×5=500(米),500÷100-1=4(次)一共休息4次。用时100+4×10=140秒。而乙行了100×4=400米,400÷100-1=3次,用时100+3×10=130秒,乙休息10秒后刚要跑,此时甲追到,所以,甲追上乙用时100+4×10=140(秒)。100÷(5-4)=100(秒)100+(100×5÷100-1)×10=140(秒)陈仁间整理之行程问题陈仁间整理之行程问题答:甲追上乙需要140秒钟。例5.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走80米。如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚在跑道上同一处?分析:甲走完一周需要时间:300÷120=2.5(分钟),乙走完一周需要时间:300÷100=3(分钟),丙走完一周需要时间:300÷80=830(分钟),那么再次相聚在跑道同一处的时间为这三个时间的最小公倍数:[2.5,3,830]=30(分钟)甲:300÷120=2.5(分钟)乙:300÷100=3(分钟)丙:300÷80=830(分钟)[2.5,3,830]=30(分钟)答:30分钟之后,3人又可以相聚在跑道上同一处。例6.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发,背向而行。现在已知甲走一圈的时间是70分钟,如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇,那么乙走一圈的时间是多少分钟?分析:甲行走45分钟,再行走70-45=25分钟即可走完一圈。而甲乙两人行45分钟相遇即两人共同走完一圈,所以甲行25分钟的路程相当于乙行走45分钟的路程。甲行走一圈需70分钟,所以乙需:70÷25×45=126(分钟)。70÷(70-45)×45=126(分钟)答:乙走一圈的时间是126分钟。例7.林琳在450米长的环形跑道上跑一圈,已知她前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米,那么她的后一半路程跑了多少秒?解:设总时间为x秒。2x×5+2x×4=4509x=900x=100100×21=50(秒)答:她后一半路程跑了50秒。例8.甲、乙两人同时从400米的环形路跑道的一点A背向出发,8分钟后两人第三次相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米,两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是多少?分析:甲、乙两人三次相遇,共行了三个全程,即是3×400=1200(米)。根据题意,甲乙两人的速度和为1200÷8=150(米/分)因为甲乙两人的每分速度差为0.1×60=6(米/分),所以甲的速度为(150+6)÷2=78(米/分)甲8分钟行的路程为78×8=624(米),离开原点624-400=224米,因为224400/2,所以400-224=176(米)即为答案。0.1×60=6(米/分)甲速:(3×400÷8+6)÷2=78(米/分)陈仁间整理之行程问题陈仁间整理之行程问题78×8-400=224米400/2400-224=176(米)答:两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是176米。基本习题:1.在一个圆形跑道上,甲从A点、乙从B点同时出发反向而行,10分钟后两人相遇,再过8分钟甲到B点,又过12分钟两人再次相遇,则甲环行一周需要多久?2.甲、乙二人以匀速绕圆形跑道相向跑步,出发点在圆直径的两端。如果他们同时出发,并在甲跑完120米时第一次相遇,在乙跑一圈还差160米时两人第二次相遇,求跑道的长度?3.甲乙两人在相距180米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒钟5米,乙的速度是每秒钟4米。如果他们同时分别从直路的两端出发,10分钟内共相遇了几次?4.甲、乙在椭圆形跑道上训练,同时从同一地点出发反向而跑,每人跑完第一圈回到出发点立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时,乙的速度是甲的速度的3/5,甲跑第二圈时速度比第一圈提高了1/5,乙跑第二圈时速度比第一圈提高了1/3,已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点218米,这条椭圆形跑道多长?5.在400米环形跑道上,A、B两点相距200米。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发,按逆时针方向跑步。甲5米/秒,乙4米/秒。每人每跑100米,都要停10秒钟。那么,甲追上乙需要多少秒钟?陈仁间整理之行程问题陈仁间整理之行程问题6.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发,背向而行。现在已知甲走一圈的时间是140分钟,如果在出发后90分钟甲、乙二人相遇,那么乙走一圈的时间是多少分钟?7.小军在450米长的环形跑道上跑一圈,已知她前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米,那么他的后一半路程跑了多少秒?8.甲、乙两人同时从400米的环形路跑道的一点A背向出发,8分钟后两人第三次相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米,两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是多少?