八年级下册1.1等腰三角形(2)

北师大版八年级下册第一章三角形的证明等腰三角形知识回顾顶角ABC底边腰腰底角底角【定义】等腰三角形的两个底角相等.简称:等边对等角.【性质定理】有两边相等的三角形叫做等腰三角形;ABCD高等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。【性质定理的推论】(简称:“三线合一”)本节课学些什么？•等腰三角形还具有哪些重要的性质?•除了用定义来判定三角形是等腰三角形外,还有一些什么简单的方法来判定三角形是等腰三角形?这就是本节课的学习的主要内容。实践观察猜想证明画一画先画一个等腰三角形,ACB•然后在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高线)，•你能发现其中一些相等的线段吗？•你能证明你的结论吗？小结•顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；•底角的两条平分线相等；•两条腰上的中线相等；•两条腰上的高线相等。ACBD●●E●●●●ACBMNACBPQ“等腰三角形的两底角的平分线相等”的证明【例1】证明:等腰三角形两底角的平分线相等.∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).证明:ACB21∠2=(已知),又∵∠1=，ABC21∴∠1=∠2(等式性质).在△BDC与△CEB中∵∠DCB=∠EBC（已知）,BC=CB（公共边）,∠1=∠2（已证）,∴△BDC≌△CEB（ASA）.∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)已知:求证:BD=CE.如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC角平分线.【探究一】“等腰三角形的两腰上中线相等”的证明【例2】证明:等腰三角形两腰上的中线相等.BM=CN.ACBMN已知:求证:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的中线.证明:(全等三角形的对应边相等)∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).AC21AC21又∵CM=,BN=(已知),∴CM=BN(等式性质).在△BMC与△CNB中∵BC=CB（公共边）,∠MCB=∠NBC（已知）,CM=BN（已证）,∴△BMC≌△CNB（SAS）.∴BM=CN【探究二】“等腰三角形两腰上的高相等”的证明【例3】证明:等腰三角形两腰上的高相等.证明:∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).又∵BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知),∴∠BPC=∠CQB=90o(高的意义).在△BPC与△CQB中∵∠BPC=∠CQB（已证）,∠PCB=∠QBC（已证）,BC=CB（公共边）,∴△BPC≌△CQB（SAS）.∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高.求证:BP=CQ.ACBPQ等腰三角形中的相等的线段这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.′议一议ACBDE1.已知:如图,在△ABC中,(1)如果∠ABD=,∠ACE=,那么BD=CE吗?如果∠ABD=,∠ACE=呢?由此你能得到一个什么结论?ABC21ACB21ABC31ACB31(2)如果AD=,AE=,那么BD=CE吗?AC21AB21(3)你能证明得到的结论吗？如果AD=,AE=呢?AC31AB31由此你能得到一个什么结论?过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.驶向胜利的彼岸八仙过海一个三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.开启智慧ACB600ACB600ACB600你认为有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？驶向胜利的彼岸命题的证明我能行1定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.证明:∵AB=AC,∠B=600(已知),∴∠C=∠B=600.(等边对等角).∴∠A=600(三角形内角和定理).∴∠A=∠B（等式性质）.∴AC=CB（等角对等边）.∴AB=BC=AC（等式性质）.∴△ABC是等边三角形(等边三角形意义).已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=600.求证:△ABC是等边三角形.ACB600驶向胜利的彼岸命题的证明我能行2定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.证明:∵∠A=∠B(已知),∴BC=AC,(等角对等边).又∵∠B=∠C(已知),∴AB=AC,(等角对等边).∴AB=BC=AC(等式性质).∴△ABC是等边三角形(等边三角形意义).已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.求证:△ABC是等边三角形.ACB求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC。求证：∠A=∠B=∠C=60°.证明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角).同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）∴∠A=∠B=∠C＝60°.CBA【探究三】