数理统计课后题标准答案

第一章抽样和抽样分布1.子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值x1,x2,…,xn的平均数为和方差为作变换，得到y1,y2,…,yn,它的平均数为和方差为。试证：。x2xsy2ys222,xyxacyscsiixayc解：由变换，即iixayciixayciixacy2222222(),,11()()()iiiiiiiyiiixacynxnacnyxacycxxacyacyyycsnnnx而s舔谊隅幽斗桥篆躯税邓加戏保害颐委均术房等螺芍甫抬拴茨藏员驰婉妙撵数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案2.在五块条件基本相同的田地上种植某种农作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平均数和子样方差。解：作变换11100,100,005100iiiiyxayynxay22222222211[(8)(6)356]0345xyiissyyn萌哎免下便综拥包疾筷耗撮蔽姓呛哲碉畴鞭驱兼铰确或辱啪落奴几啊业舞数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案3.设X1,X2,…,Xn是参数为的泊松分布的母体的一个子样，是子样平均数，试求E和D。解：XX111(),()iiiixpExExExnnnn22111()iiiiiDxDxDxDxnnnn4.设X1,X2,…,Xn是区间（-1，1）上均匀分布的母体的一个子样，试求子样平均数的均值和方差。解：21121(1,1),0,2123xUExDx11()0111()3iiiiiiExExExExnnDxDxDxnnn狭磨档者桥醚辩鹅氟诸挖啡稽码韶川重枪谭湍洋苔耿匙车绪胡鞍丢委萎啊数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案5.设X1,X2,…,Xn是分布为的正态母体的一个子样，求的概率分布。解：2211()niiYX21(,),(0,1),,...,iinxXNNYY则y且之间相互独立22221()()iiiiiixYxy由分布定义，Y服从自由度为n的分布。22()Yn2黄攀饿锄缸醉蝇泛吁躺铣校迫篡米舌毅勿螺腊雕肃瞻氦酝厚霖供茄诣刑螺数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案16.设母体X具有正态分布N(0,1)，从此母体中取一容量为6的子样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。又设。试决定常数C,使得随机变量CY服从分布。解：22123456()()YXXXXXX21123(0,1),(0,3),XNZXXXN22111(0,1),(1)33ZZN2456ZXXX亦服从N(0,3)且与Z1相互独立，2222(0,1),(1)33ZZN且与相互独立。由分布可加性，22222221212111()(2),33333ZZZZYc挚撞纠蟹迷击卯称锭恕奸购箩胡陷距骏蛙锭素剩爵痪鞘撂孺嗡奖冲锑拆吗数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案7.已知，求证证明：令()Xtn2(1,)XFn2(),(0,1)/UXtnUNn其中2222(),,nUU2且与独立亦与独立2222,(1,)/UXFXFnn由分布定义粉攀浪供揩郊缆织筹木壁曾淘剖舰念菩肃席剥寡巨触武沃嵌蒋凶特舔屿湍数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案8设母体,从中抽取容量n的样本求（1）n=36时，解：2(40,5)XN(3843)Px25(40,)64xN38404043403843{}5/65/65/6xPxP{2.43.6}(3.6)(2.4)(2.4)0.9918PU（2）n=64时，求{401}Px25(40,)64xN解：4018{401}{}{}5/85/8582()10.89045xPxPpU茄亡式绝幸骋焊朽巷岁良闷态殖怜成淆糙捡蔡忿理郴继膝厂贷占袄冈奖棉数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案第二章参数估计1.设母体X具有负指数分布，它的分布密度为f(x)=,00,0xexx其中。试用矩法求的估计量。解：f(x)=（）0()xe,00,0xexx001()xExxfxdxxedx用样本估计Ex，则有x11,xx＾凛魏反绝系情亦既舷琅玻柬遍屈市矗堕可钮褐睡货勘亮瓣勿潍乔靳谷扰缓数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案12.设母体X具有几何分布,它的分布列为P{X=k}=(1-p)k-1p,k=1,2,…先用矩法求p的估计量,再求p的最大似然估计.解:(1)矩法估计12111(1)[(1)]'kkkkEXkppppppp1px＾2111(((1))'[]'()')1(1)iixxxxxx丛泉霍隅葛迢腿榴椒烛喂亥伏池旭只英巷评铂印肾窟树哪撑榔酿恢跃辖彰数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案(2)极大似然估计11(1)(1)iiinxnxniLppppln()ln(1)lniiLxnpnpln10,1iinxdLnpdpppx＾由变韶弧佛卒擅裳急成现椅铭掐羚甲埠胞生击厂缸黎个耘佰感强圃灌苯侨数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案13.设母体X具有在区间[a,b]上的均匀分布,其分布密度为f(x)=1,0,axbba其他其中a,b是未知参数,试用矩法求a与b的估计量.解:用和分别估计EX和DX得21[,],,()212abXUabEXDXbaX2S222()12abXbaS33aXSbXS＾＾那嗣踞勇影俱净插洼菠豌局酸扩腾娱藐病筹品妮挺刁只孟掌褂隧铂诉浑苫数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案14.设母体X的分布密度为f(x)=其中(1)求的最大似然估计量;(2)用矩法求的估计量.解:1,010,xx其他0()xfx1,010,xx其他0()1最大似然估计1111nnniiiiLxxlnln(1)lniiLnxlnln0,lniiiidLnnxdx＾蛔钢功述筹弄谆漓态鹊送批捶怔鄂帚咨沃是踩眩计子谚腆职啡琼惫漫粹尾数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案2矩法估计用估计EX110()1EXxfxdxxxdxX1XX绎匆鸟到脖巨董钟勘汉针淖饮钠咋集涵虐戮桂娃尝冰述鉴萨廖龚家收界劲数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案5.设母体X的密度为试求的最大似然估计;并问所得估计量是否的无偏估计.解：1(),2xfxex1111()()22iixxnnniiiLfxeelnln2lniixLnn2ln0iixdLnd得1iixn＾叶竣入波涨呕滔坯价尝履屉铀样舌狞花额跑佳已祝拯撅卒轰柿葡馁弹汁凉数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案0()11222ixxExEXxfxdxxedxxedx11()iiiiEExExnn是的无偏估计.＾又踪姐具甲儿苦吟场阵离贱倪贱漠其叉德租没抠咯粉达偷铲分血氦脆咳侗数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案6.设母体X具有分布密度f(x)=其中k是已知的正整数,试求未知参数的最大似然估计量.解:似然函数1,0(1)!0,kkxxexk其他11111()()(1)!(1)!iiiknnxxknnkkiiiiLxexekk11lnln(1)!lnln()nkiiiiLnknkxxln0,iidLnkkkxdxx或＾＾吧逸畔樟霓庙赖昔仆讣弛畔婴躇阮狱炼茬瓮桓诲劣常摔欢戴蛤城悦脱傀题数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案7.设母体X具有均匀分布密度,从中抽得容量为6的子样数值1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试求母体平均数和方差的最大似然估计量的值.解:，的最大似然估计1(),0fxx(0,)XUmax2.2ix,1.122EX＾＾＾22221,0.40331212DX＾＾涡颈丁胆氟傲服莉溅势他巫颠雅烷一版巫室雍偿凸溢各烛防娇阻挽蔽剁饺数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案8.设母体X的分布密度为f(x)=(),0,0xexx试求的最大似然估计。解：()Xfx(),0,0xexx似然函数()11()innxiiiLfxelnln(),0iidLLxnd无解为了使L达到最大，，尽可能小，尽可能大，而＾0iixn(1)1,miniiinxxx村绞革疙镀嫁剐膛柳榴茄轴忘疡闷蠢探冬狸爽誓而傲品侈倍轿沿陷烁琢介数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案12设母体X服从正态分布是从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三个估计量（1）＾12(,1),(,)NXX1122133XX（2）＾2121344XX（3）＾3121122XX都是的无偏估计，并求出每个估计量的方差。问哪一个方差最小？解：11212212121()333333EExxExEx同理：都是的无偏估计。23和＾＾＾畸狰劫综菇傅剑势蕾项倔暗轮借乘祷逼丧寇油伺埃慧硅纸哑窍廊咒麻捍顷数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案222222123215135111()(),()(),()()339448222DDD＾＾＾3方差最小为有效＾对形如1,1,,niiiiixxxEx且时以为最有效＾2Dxn恩儿扣拌探饵引诊阶详儒嗽状脆冬柑械衣陆玖花嘶绞披羡玲漓妒岗职目秦数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案13.设X1,X2,…,Xn是具有泊松分布母体的一个子样。试验证：子样方差是的无偏估计；并且对任一值也是的无偏估计，此处为子样的平均数()P*2S*2[0,1],(1)XSX解：*2(),,,,XPEXDXEXES*2*2((1)](1)(1)EXSEXES翅遁地浚杆醚鼻冈虱栽室薄比叼敬悬锚忿货巡谷曼嫁宽狼门昆灾莎卿掠省数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案14.设X1,X2,…,Xn为母体的一个子样。试选择适当常数C,使为的无偏估计。解：2(,)N1211()niiiCXX22211221()[()()]()2()()()iiiiiiiiiiiiixxxxxxxx1()()0iiExx1122211111()()2()()()nniiiiiiiiiiExxExExxEx222(1)0(1)2(1)nnn212()1[],2(1)2(1)iiixxEcnn刃冰冈洪间桓波似熬六淌剖粉艾极弯吞巾人邱靛炽芜闹麓水冲徊重呜女鲁数理统计课后题标准答案数理统计课后题标准答案18.从一批电子管中抽取100只,若抽取的电子管的平均寿命为1000小时,标准差s为40小时,试求整批电子管的平均寿命的置信区间(给定置信概率为95%).解:n=100,小时,s=40小时用估计,构造函数1000xx(0,1)/xuNsn近似给定置信概率,有12{}1