线性空间的同构

5.6线性空间的同构教学目的：1.理解线性空间同构的概念、性质及重要意义。2.掌握有限维线性空间同构的充要条件。教学重点：线性空间同构的定义及基本性质。教学难点：线性空间同构的意义.一、线性空间同构的定义1.定义1设和是数域上的两个线性空间，是到的一个映射，如果满足：（1）是到的双射；（2）有；（3），有.则称是到的同构映射.如果到的同构映射存在,则称与同构,记为≌.V'VFf,V()()()fffVaF()()faafV'VffV'V'VVV'VV'VV'V2.一个基本结论定理5.6.1数域上任意维线性空间都与同构.证明:设是一个维线性空间,取定的一个基,,关于基的坐标为.令显然是到的一个双射.FnF(0)nnVVn12,,,n12(,,,)naaaV12:(,,,).nfaaa12,,,nfVnF,,设,,则==;=.从而是到的同构映射,因此≌.,V12()(,,,)nfaaa12()(,,,)nfbbb1122()(,,,)nnfababab1212(,,,)(,,,)nnaaabbb()()ffaF12()(,,,)nfaaaaaaa12(,,,)()naaaaaffV'VVnF二、同构映射的基本性质定理5.6.2设是线性空间到的同构映射,则:(1);(2)有;(3),,有;(4)中向量线性相关的充要条件是线性相关.(0)0fV()()ffiV1,2,,,in1122()nnfaaa1122()()()nnafafafiaFV12(),(),,()nfff12,,,nfV'V注:设是线性空间到的同构映射,(1)是的一个基的充要条件是是的一个基;(2)的子空间在之下的象集是的子空间;(3)的子空间在之下的原象集是的子空间;(4)的逆映射是到的同构映射;(5)若是线性空间到的同构映射,则是到的同构映射.'VV12(),(),,()nfff12,,,nfV'VVf'V'VfV'VVf1fggf'V''VV''V三、同构关系的性质线性空间的同构关系是等价关系,即具有:反身性:≌.对称性:若≌,则≌.传递性:若≌,≌,则≌.四、线性空间的同构的一个充要条件定理5.6.3数域上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数.FVVVVVV'V'V'V'V''V''V注:在线性空间的抽象讨论中,我们不考虑线性空间的元素是什么,也不考虑其中运算是怎样定义的,而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这个观点看来,同构的线性空间是可以不加区别的.从而定理5.6.3说明了维数是有限维线性空间的惟一的本质特征.