1-5-线性空间的同构

矩阵论教程A哈尔滨工程大学理学院矩阵论教学团队DepartmentofMathematics,CollegeofSciences书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取使用教材《矩阵论教程》国防工业出版社2012其他辅导类参考书（自选）课程要求作业要求矩阵论网站授课预计(8学时)1234第一章线性空间与线性映射线性空间线性子空间线性映射与线性变换线性变换的不变子空间5线性空间的同构教学内容和基本要求2,掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质；3,理解线性映射及线性变换的概念，掌握线性映射及变换的矩阵表示。掌握线性映射的值域、核等概念.重点:线性空间的概念；子空间的维数定理；线性映射及线性变换;不变子空间难点:基变换与坐标变换;不变子空间4,理解线性变换的不变子空间得相关概念和性质1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；线性空间是解析几何和线性代数中向量概念的抽象化。本章将给出线性映射和线性变换的概念与性质，同时也建立了矩阵和线性映射及线性变换之间的一种关系线性空间既是代数学的基本概念，也是矩阵论的基本概念之一，本章首先介绍这一概念。学习过这一部分内容的同学可以将本章作为对所学知识的回顾和延伸。线性空间的同构§1.5我们知道，在数域F上的n维线性空间V中取定一组基后，V中每一个向量有唯一确定的坐标:则与对应，就得到V到12(,,,),naaa对于V中每一个向量,令在这组基下的坐标为12(,,,)naaanF的一个映射向量的坐标是F上的n元数组，因此属于,这样一来，取定了V的一组基nF12,,,,n12:,(,,,)nnVFaaa反过来，对于中的任一元素是V中唯一确定的元素，并且:nF12(,,,),naaa1122nnaaa即也是满射.因此，是V到的一一对应.nF12()(,,,),naaa这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设都是数域F上的线性空间，如果映射,VV具有以下性质：VV：则称的一个同构映射，并称线性空间VV是到同构，记作VV与.VVii)()()(),,Viii),,kkkPVi)为双射定义为V的一组基，则前面V到的一一对应例1.V为数域F上的n维线性空间，12,,,n12[,,,]TnaaaV这里为在基下的坐标12[,,,]Tnaaa12,,,nnFnFV:就是一个V到的同构映射，所以nFnFV定理1数域F上任一n维线性空间都与Fn同构.同构映射，则有：00,.设是数域F上的线性空间，的VV是到,VV同构映射的性质中分别取01,kk与00,证：在同构映射定义的条件iii)kk即得1122()rrkkk1122()()(),rrkkk,,1,2,,.iiVkFir线性相关（线性无关）.V中向量组线性相关（线性无关）12,,,r的充要条件是它们的象12(),(),,()r证因为由11220rrkkk可得1122()()()0rrkkk反过来，由1122()()()0rrkkk可得1122()0.rrkkk而是一一对应，只有(0)0.所以可得11220.rrkkk因此，线性相关（线性无关）12,,,r12(),(),,()r线性相关（线性无关）.dimdim.VV的逆映射为的同构映射.VV：1VV到证设为V中任意一组基.12,d,,im,nVn由2，3知，为的一组基.12(),(),,()n所以dimdim.VnV任取,,V11,,VVIII为恒等变换.证首先是1－1对应，并且1:VV11(())()1111()()(())(())11(()())同理，有11()(),,kkVkP所以，为的同构映射.1VV到再由是单射，有111()()()是的子空间，且Vdimdim().WW(){()}WW若W是V的子空间，则W在下的象集证首先，WVV,WW且0=0其次，对有W中的向量,,W,使,.于是有,kkkkP由于W为子空间，所以,.WkW从而有,.WkW所以是的子空间.VW显然，也为W到的同构映射，即WWWdimdim().WW故两个同构映射的乘积还是同构映射.证：设为线性空间的同构,:VVVV：kkkkk任取,,VkP，有映射，则乘积是的1－1对应.VV到所以，乘积是的同构映射.VV到数域F上的两个有限维线性空间同构12,VV同构关系具有：反身性：对称性：传递性：,VVVVVVVIVV1VVVV定理212dimdim.VV证：若由性质2之4）即得12,VV12dimdim.VV若12dimdim,VV12.VV12,nnVPVP有例2、把复数域看成实数域R上的线性空间，证法一：证维数相等证明：2CR首先，可表成1,,xabiabR,xCx其次，若则0.abiab1+=0,=所以，1，i为C的一组基，dim2.C又，2dim2R2dimdim.CR所以，12.VV故，证法二：构造同构映射则为C到R2的一个同构映射.作对应2:,,.CRabiab作成实数域R上的线性空间.把实数域R看成是自身上的线性空间.,kababkaa例3、全体正实数R+关于加法⊕与数量乘法：证明：并写出一个同构映射.,RR证：作对应:,ln,RRaaaR易证为的1－1对应.RR到且对有,,,abRkRlnlnlnababababablnlnkkkaaakaka所以，为的同构映射.RR到故.RR方法二：作对应:,,xRRxexR易证：为的1－1对应，而且也为同构映射.RR到事实上，为的逆同构映射.