函数解析式求法例题及练习

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1函数解析式的求法一、待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。例1设)(xf是一次函数,且34)]([xxff,求)(xf解:设baxxf)()0(a,则babxabbaxabxafxff2)()()]([342baba3212baba 或  32)(12)(xxfxxf  或  二、配凑法:已知复合函数[()]fgx的表达式,求()fx的解析式,[()]fgx的表达式容易配成()gx的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数()fx的定义域不是原复合函数的定义域,而是()gx的值域。例2已知221)1(xxxxf)0(x,求()fx的解析式解:2)1()1(2xxxxf,21xx2)(2xxf)2(x三、换元法:已知复合函数[()]fgx的表达式时,还可以用换元法求()fx的解析式。与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化。例3已知xxxf2)1(,求)1(xf解:令1xt,则1t,2)1(txxxxf2)1(,1)1(2)1()(22ttttf1)(2xxf)1(xxxxxf21)1()1(22)0(x2四、函数性质法:1.已知函数奇偶性及部分解析式,求)(xf解析式本类问题的解题思路是“一变”、“二写”、“三转化”。“一变”是取相反数使自变量属于所给区间;“二写”是写出新变量的表达式;“三转化”就是利用函数的奇偶性将上述表达式转化为)(xf的表达式。例4.1已知定义在R上的偶函数)(xf,当0x时,xxxf2)(2,求)(xf解析式。解:当0x时,0x,依题有xxxxxf22)()(22,又因为)(xf是定义在R上的偶函数故)()(xfxf,所以当0x时,xxxf2)(2所以)0(2)0(2)(22xxxxxxxf2.已知函数周期性及部分解析式求)(xf解析式此类问题的解题思路是“一变”、“二写”、“三转化”。“一变”是通过自变量减周期使自变量属于所给区间;“二写”是写出新变量的表达式;“三转化”就是利用函数的周期性将上述表达式转化为)(xf的表达式。例4.2已知)(xf是定义域为R周期为2的函数,对Zk,用kI表示区间]12,12(kk,当0Ix时3)(xxf,试求当kIx时)(xf解析式。解:当]12,12(kkx时,则0]1,1(2Ikx,故3)2()2(kxkxf,又∵)(xf的周期为2,∴)2()(kxfxf,∴)()2()(3kIxkxxf3五、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式。例5.1设,)1(2)()(xxfxfxf满足求)(xf解xxfxf)1(2)(①显然,0x将x换成x1,得:xxfxf1)(2)1(②解①②联立的方程组,得:xxxf323)(例5.2设)(xf为偶函数,)(xg为奇函数,又,11)()(xxgxf试求)()(xgxf和的解析式解)(xf为偶函数,)(xg为奇函数,)()(),()(xgxgxfxf又11)()(xxgxf①,用x替换x得:11)()(xxgxf即11)()(xxgxf②解①②联立的方程组,得11)(2xxf,xxxg21)(六、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。例6已知:1)0(f,对于任意实数x、y,等式)12()()(yxyxfyxf恒成立,求)(xf解对于任意实数x、y,等式)12()()(yxyxfyxf恒成立,不妨令0x,则有1)1(1)1()0()(2yyyyyyfyf再令xy得函数解析式为:1)(2xxxf4七、设元代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用设元代入法。例7已知:函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3,2(对称,求)(xg的解析式解:设),(yxM为)(xgy上任一点,且),(yxM为),(yxM关于点)3,2(的对称点则3222yyxx,解得:yyxx64,点),(yxM在)(xgy上xxy2把yyxx64代入得:)4()4(62xxy整理得672xxy67)(2xxxg八、递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例8设)(xf是定义在N上的函数,满足1)1(f,对任意的自然数ba,都有abbafbfaf)()()(,求)(xf解Nbaabbafbfaf,)()()(,,不妨令1,bxa,得:xxffxf)1()1()(,又1)()1(,1)1(xxfxff故①分别令①式中的1,21xn得:(2)(1)2,(3)(2)3,()(1),fffffnfnn将上述各式相加得:nfnf32)1()(,2)1(321)(nnnnfNxxxxf,2121)(25函数解析式求法练习待定系数法1.已知错误!未找到引用源。是一次函数,且满足错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。.2.求一个一次函数)(xf,使得78)(xxfff.3.设函数)()()(xgxfxF其中)(xf是x的正比例函数,)(xg是2x的反比例函数,又19)3()2(FF,求)(xF的解析式。4.设)(xf是一元二次函数,)(2)(xfxgx,且212)()1(xxgxgx,求)(xf与)(xg.65.设二次函数)(xf满足)2()2(xfxf,且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长为22,求)(xf的表达式.配凑法1.已知错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。;2.已知1)1(2xxf,求)(xf解析式.换元法1.已知34)13(xxf,求)(xf的解析式.72.若xxxf2)23(,求)2(f.3.若xxxf1)1(,求)(xf.4.已知2211)11(xxxxf,求)(xf的解析式.5.设132)(2xxxf,)()1(xfxg,求)(xg及)2(gf.8函数性质法1.已知函数)(xfy是R上的奇函数,当0x时,13)(xxf,求)(xf的解析式。2.已知函数错误!未找到引用源。是定义在R上的奇函数,且当),0(x错误!未找到引用源。时,)1()(3xxxf错误!未找到引用源。,求当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。的函数解析式。设元代入法1.已知函数)(xfy的图像与函数xxg2log)()0(x的图像关于原点对称,求)(xf的解析式。9构造方程组法1.已知()3()26,fxfxx求()fx.2.定义在区间)1,1(错误!未找到引用源。上的函数错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,求)(xf错误!未找到引用源。的表达式。3.设函数)(xf是定义在),0()0,(上的函数,且满足关系式xxfxf4)1(2)(3,求)(xf的解析式.※4.若xxxfxf1)1()(,求)(xf.10赋值法1.设)(xf是定义在N上的函数,若1)1(f,且对任意的x,y都有:xyyxfyfxf)()()(,求)(xf.2.函数)(xf满足:1)0(f,且对任意x,Ry都有2)()()()1(xyfyfxfxyf,求)(xf递推法1.已知函数)(xf对任意的实数yx,都有1)(2)()()(yxyyfxfyxf,且1)1(f,若Nx,试求)(xf的表达式。

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