高一数学--函数的基本性质

第1页共13页函数的基本性质一、知识梳理1.奇偶性（1）定义：设函数y＝)(xf的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有Dx，且)(xf＝－)(xf，那么这个函数叫做奇函数.设函数y＝)(xg的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有Dx，且)(xg＝)(xg，那么这个函数叫做偶函数.（2）如果函数)(xf不具有上述性质，则)(xf不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则)(xf既是奇函数，又是偶函数.函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.（3）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定在定义域内.即定义域是关于原点对称的点集.（4）图象的对称性质：一个函数是奇函数当且仅当它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的当且仅当它的图象关于y轴对称.（5）奇偶函数的运算性质：设()fx，()gx的定义域分别是12,DD，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.（6）奇（偶）函数图象对称性的推广：若函数)(xf的图象关于直线ax对称，则)2()(axfxf；若函数)(xf的图象关于点)0,(a对称，则)2()(axfxf.2.单调性（1）定义：一般地，设函数()yfx的定义域为A，区间IA.如果对于区间I内的任意两个值1x，2x，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说()yfx在区间I上是单调增函数，I称为()yfx的单调增区间；如果对于区间I内的任意两个值1x，2x，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说()yfx在区间I上是单调减函数，I称为()yfx的单调减区间.（2）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.第2页共13页（3）设复合函数))((xgfy，其中)(xgu，A是))((xgfy定义域的某个区间，B是映射g:x→)(xgu的象集.①若)(xgu在A上是增（或减）函数，)(ufy在B上也是增（或减）函数，则函数))((xgfy在A上是增函数；②若)(xgu在A上是增（或减）函数，而)(ufy在B上是减（或增）函数，则函数))((xgfy在A上是减函数.（4）奇偶函数的单调性①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反.③在公共定义域内：增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数.3.最值（1）定义：设函数y＝)(xf的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有)(xf≤M；②存在0x∈I，使得)(0xf＝M，那么，称M是函数y＝)(xf的最大值.设函数y＝)(xf的定义域为I，如果存在实数m满足：①对于任意的x∈I，都有)(xf≥m；②存在0x∈I，使得)(0xf＝m，那么，称m是函数y＝)(xf的最小值.（2）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在0x∈I，使得)(0xf＝M（m）；函数最大（小）值应该是所有函数值中的最大（小）者，即对于任意的x∈I，都有)(xf≤M（)(xf≥m）.二、方法归纳1.利用定义判断函数奇偶性的方法（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）确定)(xf与)(xf的关系；（3）作出相应结论：若)(xf＝)(xf或)(xf－)(xf＝0，则)(xf是偶函数；若)(xf＝－)(xf或)(xf＋)(xf＝0，则)(xf是奇函数.第3页共13页2.利用定义证明或判断函数单调性的步骤（1）任取1x，2x∈D，且1x＜2x；（2）作差)()(21xfxfy；（3）变形（通常是因式分解和配方）；（4）定号（即判断差)()(21xfxfy的正负）；（5）下结论（即指出函数)(xf在给定的区间D上的单调性）.3.求函数最大（小）值的一般方法（1）求值域进而得到最大（小）值.求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法等等.（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值.（3）利用函数的图象求函数的最大（小）值；三、典型例题精讲【例1】判断下列函数的奇偶性.（1）xxxxf11)1()(；（2）22)1lg()(2xxxf.错解分析：（1）∵xxxxf11)1()(xxx11)1(21)1)(1(2xxx.显然有)(xf＝)(xf，∴)(xf为偶函数.（2）∵22)1lg(22)1lg()(22xxxxxf，于是)(xf≠)(xf且)(xf≠－)(xf.∴)(xf为非奇非偶函数.解析：（1）∵)(xf的定义域为xx11≥０，即－1≤x＜1.定义域不是关于原点对称的数集，∴)(xf为非奇非偶函数.（2）∵)(xf的定义域为012x且22x≠０，即－1＜x＜1且x≠0，此时02x.∴xxxxxf)1lg(22)1lg()(22，∴)(xf为奇函数.技巧提示：正确判定函数的奇偶性，必须先考虑函数的定义域.又例:判断下列函数的奇偶性.第4页共13页（1）551)(2xxxf；（2）)0()0()(22xxxxxxxf；（3）33)(22xxxf.解析：（1）∵21x≥0，即－1≤x≤1.此时xx55，∴xxxf21)(，为奇函数.（2）当x＞0，－x＜0时，)(xf＝xx2，)(xf＝xxxx22)()(，)(xf＝－)(xf；当x＜0，－x＞0时，)(xf＝xx2，)(xf＝xxxx22)()(，)(xf＝－)(xf；∴)(xf为奇函数.（3）∵33)(22xxxf的定义域为|3xx.此时函数化为)(xf＝0，|3xx.∴)(xf既是奇函数又是偶函数.【例2】讨论函数xxxxf22116)(的奇偶性.解析：函数定义域为R，又11161222116)(xxxxxxf＝)(22116141612xfxxxxxx.∴)(xf为偶函数.技巧提示：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）.如本题亦可先化简：14412116)(xxxxxf，显然)(xf为偶函数.从这可以看出，化简后再解决要容易得多.又例：证明函数)1(1)(22xxogxf为奇函数.解析：∵)(xf＋)(xf＝)1(122xxog＋)1(122xxog第5页共13页＝)]1)(1[(1222xxxxog＝112og＝0∴)(xf为奇函数.再例：讨论函数aaxxaxf||)(22（a≠0）的奇偶性.解析：∵2x≤2a，∴要分a＞0与a＜0两类讨论.（i）当a＞0时，由aaxaxa||，函数的定义域为],0()0,[aa，∵ax≥0，∴xxaxf22)(，)(xf为奇函数；（ii）当a＜0时，由aaxaxa||，函数的定义域为,00,aa，∵ax≤0，∴axxaxf2)(22，)(xf既不是奇函数，也不是偶函数.【例3】求函数20.7log(32)yxx的单调区间.错解分析：设41)23(23)(22xxxxt，∴)23,(为函数)(xt的单调递减区间；),23(为函数)(xt的单调递增区间.又txxy7.027.0log)23(log为t的减函数，∴)23,(为函数20.7log(32)yxx的单调递增区间；),23(为函数20.7log(32)yxx的单调递减区间.解析：设23)(2xxxt，由0232xx得函数的定义域为),2()1,(，区间)1,(和),2(分别为函数23)(2xxxt的单调递减区间和单调递增区间.又ty7.0log，根据复合函数的单调性的规则，得区间)1,(和),2(分别为函数ty7.0log的单调递增区间和单调递减区间.第6页共13页技巧提示：函数的单调区间是包含在定义域内的某个区间，因此，求函数的单调区间必须考虑函数的定义域.运用复合函数的单调性规则求函数的单调区间时，要考虑各个基本函数都要有意义.又例：设函数)(xf＝bxax（a＞b＞0），求)(xf的单调区间，并证明)(xf在其单调区间上的单调性.解析：在定义域内任取1x＜2x，∴)()(21xfxf＝1212xaxaxbxb))(())((2121bxbxxxab，∵a＞b＞0，∴b－a＜0，1x－2x＜0，只有当1x＜2x＜－b或－b＜1x＜2x时函数才单调.当1x＜2x＜－b或－b＜1x＜2x时)()(21xfxf＞0.∴（－b，＋∞）和（－∞，－b）都是函数)(xf的单调减函数区间.【例4】设0a，()xxeafxae是R上的偶函数.（1）求a的值；（2）证明()fx在(0,)上为增函数.解析：（1）依题意，对一切xR，有()()fxfx，即1xxxxeaaeaeae.∴11()()xxaeae0对一切xR成立，则10aa，即1a.∵0a，∴1a.（2）设120xx，则12121211()()xxxxfxfxeeee2121121122111()(1)(1)xxxxxxxxxxxeeeeeee，由12210,0,0xxxx，得21120,10xxxxe，2110xxe，∴12()()0fxfx，即12()()fxfx，∴)(xf在(0,)上为增函数.第7页共13页技巧提示：两小题都只要抓住偶函数、增函数的定义解决问题就不难.两小题中变形的都是因式分解，第（2）小题的变形以容易判别符号为目标.又例：已知)(xf是定义在R上的偶函数，且在),0[上为减函数，若)12()2(2afaaf，求实数a的取值范围.解析：)(xf是R上的偶函数且在),0[上为减函数.∴由)12()2(2afaaf，有|12||2|2aaa，即222)12(202aaaaa，解得a≤－1或a≥2.再例：二次函数)(xf的二次项系数为正，且对任意实数x，恒有)2(xf＝)2(xf，若)21(2xf＜)21(2xxf，则x的取值范围是_________.解析：由二次函数)(xf的二次项系数为正，知函数的图象为开口向上的抛物线，由)2(xf＝)2(xf，知x＝2为对称轴，于是有结论：距对称轴较近的点的纵坐标较小.∴22122122xxx即22)1(12xx,22)1(12xx∴－2＜x＜0.【例5】已知)(xf是定义在R上的增函数，对x∈R有)(xf＞0，且)5(f＝1，设)(xF＝)(xf＋)(1xf，讨论)(xF的单调性，并证明你的结论.解析：在R上任取1x、2x，设1x＜2x，∴)(1xf＜)(2xf，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212xfxfxfxfxfxfxfxfxFxF∵)(xf是R上的增函数，且)5(f＝1，∴当x＜5时0＜)(xf＜1，而当x＞5时)(xf＞1；①若1x＜2x＜5，则0＜)(1xf＜)(2xf＜1，∴0＜)(1xf)(2xf＜1，第8页共13页∴)()(1121xfxf＜0，∴)(2xF＜)(1xF；②若2x＞1x＞5，则)(2xf＞)(1xf＞1，∴)(1xf)(2xf＞1,∴)()(1121xfxf