第八节无穷小的比较

第六节无穷小的比较一、无穷小的比较例如,xxx3lim20xxxsinlim020sinlimxxx.sin,,,02都是无穷小时当xxxx极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.;32要快得多比xx;sin大致相同与xx,0,1)1sin(lim0xxxx观察各极限型）（00.sin2要慢比xx；记作高阶的无穷小是比，就说如果)(,0lim)1(o定义:.0,,且穷小是同一过程中的两个无设;,0lim)3(是同阶的无穷小与就说如果C;~;,1lim记作是等价的无穷小与则称如果特殊地，低阶的无穷小．是比，就说如果２lim)(.,0,0lim)4(无穷小阶的的是就说如果kkCk，03lim20xxx，1sinlim0xxx;302高阶的无穷小是比时，当xxx).0()3(2xxox即．是等价无穷小与时，当xxxsin0).0(~sinxxx即例如，例1.sintan,0:的三阶无穷小为时当证明xxxx解30sintanlimxxxx)cos1sincos1(lim20xxxxxx,21.sintan的三阶无穷小为xxx2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx的主要部分．是称为必要条件是等价无穷小的的充分与定理).(1o证必要性，设~1limlim，0．，即)()(oo充分性．设)(o)(limlimo）（１＋)(limo，1．~意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．例如,),(sinxoxx).(21cos122xoxx,0时当xxycos1221yx常用等价无穷小:,0时当x)0(~1)1(,21~cos1,1~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin~2aaxxxxexxxxxxxax.21~cos1,~sin2xxxx二、等价无穷小代换定理２(等价无穷小代换定理).limlim,lim~,~则存在且设证lim)lim(limlimlim.lim例３.cos12tanlim20xxx求解.2~2tan,21~cos1,02xxxxx时当22021)2(limxxx原式.8若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.注意例４.arcsinsin)1(lim0xxxx求解.~arcsin,~sin,0xxxxx时当xxxx)1(lim0原式.1)1(lim0xx例５.2sinsintanlim30xxxx求解.~sin,~tan,0xxxxx时当30)2(limxxxx原式.0解,0时当x)cos1(tansintanxxxx,21~3x,2~2sinxx330)2(21limxxx原式.161错三、小结1.无穷小的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的代换:求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.思考题任何两个无穷小都可以比较吗？思考题解答不能．例当时x,1)(xxfxxxgsin)(都是无穷小量但)()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大故当时x)(xf和)(xg不能比较.一、填空题：1.xxx2sin3tanlim0=__________.2.mnxxx)(sinarcsinlim0=________.3.xxx)21ln(lim0=_________.4.xxxxxarctan1sin1lim20=________.5.nnnx2sin2lim=________.练习题7.)0(3aaxa对于x是_______阶无穷小.8.无穷小xcos1与nmx等价，则.______________,nm二、求下列各极限：1.xxxx30sinsintanlim；2.eelim；3.xxxxsinsinlim0；6.xaxnx1)1(lim10=_________.,0时当x,0时当x三、证明：若,是无穷小，则)(0~.四、设f(x)=1)cos(2sinlim212nnnxbxaxx求：1、)(xf的表达式.2、确定ba,的值,使得)1()(lim1fxfx，)1()(lim1fxfx.4.axaxaxtantanlim.一、1.23；2.nmnmnm,,1,0；3.2；4.；5.x；6.na；7.3；8.21,2.二、1.21；2.e；3.；4.a2sec.练习题答案1),cos(1,2)cos(11,2)cos(11,2sinxbxaxbaxbaxxx；2．0,),1,0(2bkka.四、1．