高中数学第二章平面解析几何初步2.2.4点到直线的距离练习(含解析)新人教B版必修2

对应学生用书P59知识点一点到直线的距离高中数学第二章平面解析几何初步2.2.4点到直线的距离练习（含解析）新人教B版必修21．若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是322，则实数a为()A．－1B．5C．－1或5D．－3或3答案C解析由点到直线的距离公式得|1－a＋1|2＝322，∴a＝－1或5．2．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m为()A．0或－12B．12或－6C．－12或12D．0或12答案B解析由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－m＝4－2－1－3或m×3－12＋2＋42＋3＝0，∴m＝12或m＝－6．知识点二两平行线间的距离3．两条平行直线3x－4y－3＝0和mx－8y＋5＝0间的距离是()A．1110B．85C．157D．45答案A解析由两直线平行，得m＝6，所以mx－8y＋5＝0可化成3x－4y＋52＝0，因此两条平行线间的距离d＝－3－5232＋42＝1110，故选A．4．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，则l的方程为________．答案2x－y＋1＝0解析设所求的直线方程为2x－y＋c＝0(c≠3，c≠－1)，分别在l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0上取点A(0，3)和B(0，－1)，则此两点到2x－y＋c＝0的距离相等，即|－3＋c|22＋－2＝|1＋c|22＋－2，解得c＝1，故直线l的方程为2x－y＋1＝0．知识点三距离公式的综合应用5．已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上任意一点，则m2＋n2的最小值为________．答案5解析因为m2＋n2是点P(m，n)与原点O间的距离，所以根据直线的性质，原点O到直线2x＋y＋5＝0的距离就是m2＋n2的最小值．根据点到直线的距离公式可得d＝522＋12＝5．故答案为5．6．已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到l2的位置，若l1，l2和两坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程(如图)．解∵l1∥l2，可设l2的方程为x＋y－m＝0．l2与x轴，y轴分别交于B，C，l1与x轴，y轴分别交于A，D，得A(1，0)，D(0，1)，B(m，0)，C(0，m)．∵l2在l1的上方，∴m1．∵S梯形ABCD＝S△OBC－S△AOD，∴4＝12m2－12，解得m＝3或m＝－3(舍去)．故所求直线的方程为x＋y－3＝0．对应学生用书P59一、选择题1．到直线3x－4y－1＝0的距离为2的点的轨迹方程是()A．3x－4y－11＝0B．3x－4y＋11＝0C．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0D．3x－4y＋11＝0或3x－4y＋9＝0答案C解析到直线3x－4y－1＝0的距离为2的点的轨迹是与3x－4y－1＝0平行的直线，设直线方程为3x－4y＋C＝0，则|C＋1|32＋－2＝2，∴C＝9或C＝－11．2．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是()A．8B．22C．2D．16答案A解析由题知所求即为原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方，即＋0－212＋12＝162＝8．故选A．3．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－11＝0和l2：x＋y－1＝0上移动，则AB中点M所在直线的方程为()A．x－y－6＝0B．x＋y＋6＝0C．x－y＋6＝0D．x＋y－6＝0答案D解析由题意，得点M所在的直线与直线l1，l2平行，所以设为x＋y＋n＝0，此直线到直线l1和l2的距离相等，所以|n＋11|2＝|n＋1|2，解得n＝－6，所以所求直线的方程为x＋y－6＝0．故选D．4．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点()A．(0，4)B．(0，2)C．(－2，4)D．(4，－2)答案B解析由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，∴直线l2恒过定点(0，2)．5．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为()A．32B．2C．2D．4答案A解析由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋c＝0，则|c＋7|2＝|c＋5|2，即c＝－6，∴点M在直线x＋y－6＝0上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即|－6|2＝32．二、填空题6．如果已知两点O(0，0)，A(4，－1)到直线mx＋m2y＋6＝0的距离相等，那么m可取不同实数值的个数为________．答案3解析解方程6m2＋m4＝|4m－m2＋6|m2＋m4(m≠0)，得m＝6或m＝－2或m＝4．7．直线l在x轴上的截距为1，又点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，则l的方程为________．答案x－y－1＝0或x＝1解析显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1．设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0．∵点A，B到l的距离相等，∴|－2k＋1－k|k2＋1＝|4k－5－k|k2＋1，∴|1－3k|＝|3k－5|，∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0．8．已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的有________．①y＝x＋1②y＝2③y＝43x④y＝2x＋1答案②③解析可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离d来分析．①d＝5＋12＝324，故直线上不存在点到点M的距离等于4，不是“切割型直线”；②d＝24，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；③d＝2032＋42＝4，直线上存在一点，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；④d＝115＝11554，故直线上不存在点到点M的距离等于4，不是“切割型直线”．故填②③．三、解答题9．已知直线l1：ax＋by＋1＝0(a，b不同时为0)，l2：(a－2)x＋y＋a＝0．(1)若b＝0且l1⊥l2，求实数a的值；(2)当b＝3且l1∥l2时，求直线l1与l2间的距离．解(1)当b＝0时，l1：ax＋1＝0，由l1⊥l2知a－2＝0，解得a＝2．(2)当b＝3时，l1：ax＋3y＋1＝0，当l1∥l2时，联立a－－＝0，3a－1≠0，解得a＝3，此时，l1的方程为3x＋3y＋1＝0，l2的方程为x＋y＋3＝0，即3x＋3y＋9＝0，则它们之间的距离为d＝|9－1|32＋32＝423．10．过点M(2，4)作两条互相垂直的直线，分别交x，y轴的正半轴于点A，B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB的方程．解设直线AB的方程为xa＋yb＝1(a0，b0)，∴A(a，0)，B(0，b)．∵MA⊥MB，∴(a－2)×(－2)＋(－4)×(b－4)＝0，即a＝10－2b．∵a0，b0，∴0b5，0a10．∵直线AB的一般式方程为bx＋ay－ab＝0，∴点M到直线AB的距离d＝|2b＋4a－ab|a2＋b2．∴△MAB的面积S1＝12d|AB|＝12|2b＋4a－ab|＝|b2－8b＋20|＝b2－8b＋20，△OAB的面积S2＝12ab＝5b－b2．∵直线AB平分四边形OAMB的面积，∴S1＝S2，可得2b2－13b＋20＝0，解得b＝4，a＝2或b＝52，a＝5.∴所求直线AB的方程为x＋2y－5＝0或2x＋y－4＝0．