高一数学必修-不等式知识点总结

不等式一、基本不等式1、0abab；0abab；0abab．2、不等式的性质：①abba；②,abbcac；③abacbc；④,0abcacbc，,0abcacbc；⑤,abcdacbd；⑥0,0abcdacbd；⑦0,1nnababnn；⑧0,1nnababnn．3、设a、b是两个正数，则2ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数．4、均值不等式定理：若0a，0b，则2abab，即2abab．5、常用的基本不等式：①222,abababR；②22,2abababR；③20,02ababab；④222,22abababR．6、极值定理：设x、y都为正数，则有⑴若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值24s．⑵若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p．例：（13-14耀华7）若2-m与|m|-3异号，则m的取值范围是A、m3B、-3m3C、2m3D、-3m2或m3解析：由题.323,03020302mmmmmm或或得答案：D例：（13-14蓟县11）已知实数的最小值为则且、yxyxRyx12,1,解析：22323))(12(12yxxyyxyxyx当且仅当222yx答案：223二、一元二次不等式1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24bac000二次函数2yaxbxc0a的图象一元二次方程2axbx0c0a的根有两个相异实数根1,22bxa12xx有两个相等实数根122bxxa没有实数根一元二次不等式的解集20axbxc0a12xxxxx或2bxxaR20axbxc0a12xxxx若二次项系数为负，先变为正例：(12-13南开区17)已知不等式2230xx的解集为A，不等式260xx的解集是B．(I)求AB；(Ⅱ)若不等式20xaxb的解集是AB，求20axxb的解集．.,0221,0240-1(-1,2)0(2)(-1,2)).2,3(23-06(-1,3),31-032)1(2222RxxbabababaxxBABxxxAxxx解得解集为解得，的解集是由，得解得解解：3、图像法（数形结合）根的分布分离参数法恒成立问题：分类讨论（因式分解）含参一元二次不等式：例：（13-14红桥区17）解关于x的不等式2(1)10axax．.1;11,111;11,1110;110)1)(1(00)1)(1(0;10时，不等式的解为当不等式的解为时，当不等式的解为时，当或，不等式的解化为时，原不等是等价于当时，因式分解为当时，不等式解为解：当axaaaaxaaaxxxaxaxaxaaxa例：（13-14蓟县13)已知一元二次不等式02122kxkx对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为解析:40040,0021,02kkkkkk得则若，成立；则不等式化为若综上可得40k答案：4,0例：(12-13南开12)己知一元二次不等式2(2)2(2)40mxmx的解集为R，则实数m的取值范围是_________________.解析：22,2064(2)4(2)0mmmmm不等式为一元二次不等式，则则得2得2m6答案：(2,6)三、线性规划1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．3．解线性规划实际问题的步骤：（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；（4）验证所求解是否在可行域内。例：（13-14耀华11）x、y满足条件01,02,21.xyyx，设224zyx，则z的最小值是；解析：由题得可行域（阴影部分）：目标函数可化为：zxy212所以在（1,1）处取得最小值为4答案：4