ch6-凸集和凹函数

6凸集和凹函数凸组合和凸包定理6.1.6集合X是凸集的充要条件是X中点的任意凸组合都属于X.定义6.1.8凸包(ConvexHull)令X是R中的集合。包含X的最小的凸集称为X的凸包，记为convX.定理6.1.9X的凸包是由X中元素的所有凸组合组成的集合，即：6.2凹函数凹性和拟凹性是数学规划中两个重要的概念。一元实函数取得局部极大值的条件。一阶条件f‘(x)=0是局部极大值的必要但不充分的条件。它告诉我们,f在x处的切线必须是水平的，这对于局部极大值肯定是正确的，但对于局部极小值也是如此。为了将极大值与极小值分开，我们需要运用根据二阶导数得出的二阶（充分）条件。对于一元函数，f’’(x)＜0说明了f在x的邻域中是凹函数。直观地看，函数的凹性意味着对于水平切线函数的图形是“峰”而不是“谷”。而且，若f是整体凹的，则f只有一个“峰”，而且没有“谷”。因此，一旦找到点x’使得f‘(x’)=0，我们就能得到函数的整体极大值。总之，对于没有约束的极大化的二阶条件等于检验f在临界点的邻域中的凹性。若函数是整体凹的，局部极大值也就是整体极大值。类似的结论可以用到更复杂的规划问题中，但那时我们还需考虑约束函数的曲率。光滑函数的凹性一阶条件：定理6.2.17令f:RnXR是定义在开凸集X上的C1函数，则f是凹函数的充要条件为：对于X中任意给定的点x0和x，有：二阶条件：注意到，海森矩阵负定是f严格凹的充分而不必要的条件。拟凹函数定义6.3.1拟凹函数令f:RnXR是定义在凸集X上的实值函数。若对X中任意点x’和x’’，以及任意[0,1]，有：结论是：•由凹性可以推出拟凹性。•严格凹性可以推出严格拟凹性，但是反过来不成立。•拟凹性比凹性弱，拟凹函数不具有凹函数的某些性质。•不同于凹函数，拟凹函数在定义域中某些内点处不连续，•拟凹函数的非负线性组合也不一定是拟凹函数。•但拟凹函数在递增变换（不一定是凹变换）下仍是拟凹函数。