包络定理和约束最大化问题

1第2讲关于优化的数学知识2优化数学•许多经济理论基于经济参与人寻求某个函数的最优值这个假定–消费者寻求最大化效用–厂商寻求最大化利润•本讲介绍对于这些问题的一些共同的数学知识3优化数学•“新古典”模型方法与优化数学–偏好——目标函数–约束——选择变量需要满足的条件–最优选择——一阶条件和二阶条件–行为变化——包络定理4单变量函数的优化•简单例子:管理者希望最大化利润)(qf=f(q)数量*q*在q*获得最大化利润*5单变量函数的优化•管理者尝试改变q寻找最大利润的位置–q1到q2的上升导致的上升=f(q)数量*q*1q12q20q6单变量函数的优化•如果产出增加超过q*,利润将会下降–q*到q3的增加导致利润下降=f(q)数量*q*0q3q37最大值的一阶条件•对于一个单变量函数，为了获得某个最大值点,这点的导数一定是00*qqdqdf8二阶条件•一阶条件(d/dq)是最大值的必要条件,但不是充分条件数量*q*如果利润函数是u型的,一阶条件会导致选择q*，将会最小化9二阶条件•这意味着，为了q*是最优值,0*dqqdq对于并且0*dqqdq对于•因此,在q*,d/dq一定是递减的10二阶导数•(局部)最大值的二阶条件是0)(**22qqqqqfdqd11利润最大化的例子•假定利润和产量的关系是=1,000q-5q2•最大值的一阶条件是d/dq=1,000-10q=0q*=100•因为二阶导数总是-10,q=100是一个全局最大值点12多变量函数•经济参与人的大多数目标依赖于多个变量–必须进行权衡•一个变量(y)依赖于一系列其他变量(x1,x2,…,xn)可以记做),...,,(nxxxfy2113•y对于x1的偏导数记做偏导数1111xyfffxx或或或•在计算偏导数的时候,所有其他的x保持不变•偏导数是其他条件不变假设的数学表达–表明了当其他影响保持不变的时候，一个变量的变化如何影响某个结果14偏导数•我们必须关注变量的单位–如果q代表汽油需求数量(单位是十亿加仑)，p代表了每加仑的美元价格,那么q/p测量了每加仑汽油价格变化一元，需求数量的改变量(十亿加仑每年)15弹性•弹性测量了一个变量变化对于其他变量的比率效应–无单位•y对于x的弹性是yxxyyxxyxxyyexy,16弹性和函数形式•假设y=a+bx+其他项•在这种情况下,bxaxbyxbyxxyexy,•ey,x不是一个常数–必须注意到是在哪点计算的弹性17弹性和函数形式•假设y=axb•在这种情况下,baxxabxyxxyebbxy1,18弹性和函数形式•假设lny=lna+blnx•在这种情况下,,lnlnyxyxyebxyx•弹性可以通过对数微分计算19二阶偏导数•偏导数的偏导数被称作二阶偏导数ijijjifxxfxxf2)/(20Young’s定理•在一般条件下,计算二阶偏导数的偏微分顺序不重要jiijff21利用二阶偏导数•二阶偏导数在许多经济定理中起到了重要作用•一个最重要的是一个变量自身的二阶偏导数,fii–表明xi对于y的边际影响(y/xi)如何随着xi增加而变化–fii0表明了边际效应递减22全微分•假设y=f(x1,x2,…,xn)•如果所有的x改变很小的单位,对于y的总效应将会是nndxxfdxxfdxxfdy...2211nndxfdxfdxfdy...221123最大值(或最小值)的一阶条件•函数f(x1,x2,…,xn)最大值(或者最小值)的必要条件是对于x微小变化的任意组合都有dy=0•这个成立的唯一条件是0...21nfff•满足这个条件的点称为驻点24寻找最大值•假定y是x1和x2的函数y=-(x1-1)2-(x2-2)2+10y=-x12+2x1-x22+4x2+5•一阶条件意味着0420222211xxyxxy或者2121**xx25隐函数定理•不是总可以从隐函数形式g(x,y)=0解出唯一的显函数形式y=f(x)–数学家推导了必要条件–在许多经济应用中,这些条件和最大值(或最小值)的二阶条件相同26包络定理•包络定理关注一个函数的参数改变之后，函数的最优值如何改变•利用一个例子可以很容易地了解这点27包络定理•假定y是x的函数y=-x2+ax•对于a的不同取值,这个函数代表了一族抛物线•如果a取定一个值,那么y变成仅仅是x的函数，同时可以计算使得y最大的x的取值28包络定理A的值x*的值y*的值00011/21/421133/29/442455/225/4639对于不同的a，x和y的最优值29包络定理01234567891001234567ay*随着a增加,y(y*)的最大值上升a和y的关系是二次的30包络定理•假定我们感兴y*如何随着a变化•我们有两种方法可以做到这点–直接计算y的斜率–保持x在最优值不变，直接计算y/a31包络定理•为了计算函数的斜率,我们必须对于任意的a解出x的最优值dy/dx=-2x+a=0x*=a/2•替代,得到y*=-(x*)2+a(x*)=-(a/2)2+a(a/2)y*=-a2/4+a2/2=a2/432包络定理•因此,dy*/da=2a/4=a/2=x*•但是,我们可以利用包络定理节约时间–对于a的微小变化,dy*/da可以通过保持x在x*不变，直接从y计算y/a33包络定理y/a=x•保持x=x*y/a=x*=a/2•这和前面的结果相同34包络定理•包络定理表示了，函数最优值对于参数的变化可以通过保持x(或者几个x)在最优值不变，偏微分目标函数获得)}(*{*axxaydady35包络定理•包络定理可以扩展到y是多变量的函数y=f(x1,…xn,a)•寻找y的最优值包括求解n个一阶条件方程y/xi=0(i=1,…,n)36包络定理•x的最优值将是a的函数x1*=x1*(a)x2*=x2*(a)xn*=xn*(a)...37包络定理•替代进原目标函数获得了y(y*)最优值的表达式y*=f[x1*(a),x2*(a),…,xn*(a),a]•求导，可得afdadxxfdadxxfdadxxfdadynn...*221138包络定理•考虑一阶条件,如果x在它们的最优值，那么所有项，除了f/a，都等于0•因此,)}(*{*axxafdady39约束最优化•如果不是所有的x取值都是可行的会怎么样?–x的值可能都需要是正的–消费者的选择被购买力所限制•求解约束最大化问题的一种方法是拉各朗日乘子法40拉各朗日乘子法•假定我们希望找到x1,x2,…,xn的取值最大化y=f(x1,x2,…,xn)服从约束，仅仅一些特定的x可以使用g(x1,x2,…,xn)=041拉各朗日乘子法•拉各朗日乘子法开始于建立表达式L=f(x1,x2,…,xn)+g(x1,x2,…,xn)其中是一个附加变量，称作拉各朗日乘子•当约束起作用的时候,因为g(x1,x2,…,xn)=0，L=f42拉各朗日乘子法•一阶条件L/x1=f1+g1=0L/x2=f2+g2=0.L/xn=fn+gn=0..L/=g(x1,x2,…,xn)=043拉各朗日乘子法•可以利用一阶条件解出x1,x2,…,xn和•这些解具有两个性质:–x遵守约束–这些x使得L(因此f)的值最大44拉各朗日乘子法•拉各朗日乘子()具有重要的经济解释•一阶条件意味着f1/-g1=f2/-g2=…=fn/-gn=–分子衡量了xi增加一单位对于函数f的边际益处–分母反映了xi增大对于约束的负担45拉各朗日乘子法•在x的最优选择,增加xi的收益与边际成本的比率应该对于所有的x都相同•是所有x共同的成本收益比率iixx的边际收益的边际成本46拉各朗日乘子法•如果稍微放松约束,哪个x改变并不重要•拉各朗日乘子衡量了约束放松如何影响y的值•为约束提供了一个“影子价格”47拉各朗日乘子法•一个较高的值意味着放松约束那么y将会上升较大幅度–每个x具有较高的成本收益比率•一个较低的值意味着放松约束不会有很大收益•=0意味着约束没有起作用48对偶•任何约束最大值问题都伴随着一个对偶问题，此问题是一个带约束的最小化问题，目标函数是原问题的约束49对偶•参与人在预算约束下最大化效用–对偶问题:参与人最小化可以达到给定效用水平的支出•厂商为了生产一定的产出最小化要素投入成本–对偶问题:给定要素投入成本的条件下，厂商最大化产出50约束最大化•假定一个农民有一个长度确定(P)的篱笆，希望圈成一个最大的矩形•令x表示一个边的长度•令y表示另一条的长度•问题:选择x和y最大化面积(A=x·y)服从约束是周长确定P=2x+2y51约束最大化•建立拉各朗日乘子方程L=x·y+(P-2x-2y)•最大值的一阶条件是L/x=y-2=0L/y=x-2=0L/=P-2x-2y=052约束最大化•因为y/2=x/2=,x一定等于y–这个区域一定是正方形–x和y应该这样选择，使得边际收益与边际成本的比率相同•因为x=y并且y=2,我们可以利用约束获得x=y=P/4=P/853约束最大化•对于拉各朗日乘子的解释–如果农民希望知道增长一码篱笆可以增加多少面积,表明是现在周长(P)的八分之一–因此,拉各朗日乘子表示了约束隐含的价值54约束最大化•对偶问题:选择x和y最小化能围起一定区域的篱笆的长度最小化P=2x+2y约束A=x·y•建立拉各朗日函数:LD=2x+2y+D(A-xy)55约束最大化•一阶条件:LD/x=2-D·y=0LD/y=2-D·x=0LD/D=A-x·y=0•求解得到x=y=A1/2•拉各朗日乘子(D)=2A-1/256包络定理和约束最大化问题•假设我们希望最大化y=f(x1,…,xn;a)服从约束g(x1,…,xn;a)=0•一种求解方式是建立拉各朗日函数，求解一阶条件57包络定理和约束最大化问题•另外,可以证明dy*/da=L/a(x1*,…,xn*;a)•为了获得参数a的改变导致y的最大值的变化可以对于L在最优值点偏微分58二阶条件–单变量函数•令y=f(x)•最大值点的必要条件dy/dx=f’(x)=0•为了保证这个点是最大值点,y必须在离开这个点的时候递减59二阶条件–单变量函数•全微分衡量了y的变化dy=f’(x)dx•在最大值点,对于x的微小增加dy一定会减小•为了看到dy的变化,我们必须利用y的二阶导数60二阶条件–单变量函数•注意d2y0意味着f’’(x)dx20•因为dx2一定是正的,f’’(x)0•这意味着函数f在驻点一定是凹的22)()(])('[dxxfdxdxxfdxdxdxxfdyd61二阶条件–双变量函数•假定y=f(x1,x2)•最大值点的一阶条件y/x1=f1=0y/x2=f2=0•为了保证这个点是最大值点,从任何方向离开驻点y必须减小62二阶条件–双变量函数•x1方向的斜率(f1)必须在驻点减小•x2方向的斜率(f2)必须在驻点减小•但是,交叉导数(f12=f21)也必须满足约束，以保证dy对于任何方向离开驻点的运动都会减少63二阶条件–双变量函数•y的全微分dy=f1dx1+f2dx2•这个函数的微分是d2y=(f11dx1+f12dx2)dx1+(f21dx1+f22dx2)dx2d2y=f11dx12+f12dx2dx1+f21dx1dx2+f22dx22•根据Young定理,f12=f21并且d2y=f11dx12+2f12dx1dx2+f22dx2264二阶条件–双变量函数d2y=f11dx12+2f12dx1dx2+f22dx22•为了使得这个方程对于x的任何方向都是负的,f11