空间向量立体几何

例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D1G1)1(AAADAB1111)1(ACCCACAAACAAADAB解M始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t其中向量叫做直线的方向向量.llaaOABPa若P为A,B中点,则12OPOAOB2.共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使,abyx,p,abOMabABAPppxayb推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有MPxMAyMBOPOMxMAyMB注意：空间四点P、M、A、B共面存在唯一实数对,,xyMPxMAyMB（）使得(1)OPxOMyOAzOBxyz其中，例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥。nmggmnll证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使g=xm+yn,l·g=xl·m+yl·n∵l·m=0,l·n=0∴l·g=0∴l⊥g∴l⊥g这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l⊥巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理aAOP.,0,,,,0,0,PAaPAaaOAaPOaPAOAyPOxPAyxOAPOOAPOaOAaOAaPOaPOPOaa即使有序实数对定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量证明：在PAaOAaaPAOAPAPO求证：且内的射影，在是的垂线，斜线，分别是平面已知：,,复习:2.向量的夹角:abOABab0ab，ab，向量的夹角记作:ab与ab||||cos,abab1.空间向量的数量积:111222(,,),(,,)axyzbxyz设121212xxyyzzcos||||ababab，121212222222111222xxyyzzxyzxyz5.向量的模长:2222||aaxyz(,,)axyz设4.有关性质:(1)两非零向量111222(,,),(,,)axyzbxyz1212120xxyyzz0abab(2)||||||abab||||,ababab同方向||||,ababab反方向注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。OABP3.A、B、P三点共线的充要条件A、B、P三点共线APtABA(1)OPxOyOBxy反过来，对空间任意两个不共线的向量，，如果，那么向量与向量,有什么位置关系？abbyxpab共线，，分别与bbya,ax确定的平面内，都在bbya,ax确定的平面内，，并且此平行四边形在ba共面，与即确定的平面内，在bbbyap,aaxpabABPpCp例5(课本例)已知ABCD，从平面AC外一点O引向量A,,,OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD求证：①四点E、F、G、H共面；②平面AC//平面EG.BCDOEFGH证明：∵四边形ABCD为①∴ACABAD（﹡）EGOGOEkOCkOA()kOCOAkAC（﹡）代入()kABAD()kOBOAODOAOFOEOHOE所以E、F、G、H共面。EFEH证明：由面面平行判定定理的推论得：②EFOFOEkOBkOA()kOBOAkAB由①知EGkAC//EGAC//EFAB//EGAC面面ABCDOEFGH共线向量共面向量定义向量所在直线互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推论运用判断三点共线，或两直线平行判断四点共面，或直线平行于平面)0(//ababapabbyxpABtOAOPACyABxOAOP小结共面)1(APyxOByOxO)1(0zyxOCzOByOAxOP3）射影eaeaABBAelABBABlBAlAllelaAB,cos,111111射影。方向上的正射影，简称或在上的在轴叫做向量，则上的射影在作点上的射影在点同方向的单位向量。作上与是，和轴＝已知向量BAleA1B1注意：在轴l上的正射影A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。ABAB例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥ABACOBCBOA，证明：由已知ABCO0)(0)(0,0OAOCOBOBOCOAACOBBCOA所以OAOBOCOBOBOAOCOA所以00)(0OCBAOCOBOAOCOBOCOA所以ABOC所以3.已知空间四边形，求证：。,,OABCOBOCAOBAOCOABCOACB证明：∵()||||cos||||cos||||cos||||cos0OABCOAOCOBOAOCOAOBOAOCOAOBOAOBOAOBOABC4.空间向量基本定理若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，若三个基向量是互相垂直的单位向量，则称这个基底为单位正交基底x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)a//bAPPBl=uuuruuur121212(,,)111xxyyzzPllllll++++++设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则l∥ma∥bakb；线面平行∥u∥v.ukv线线平行l∥au0au；面面平行(五)、空间位置关系的向量法：线线垂直线面垂直⊥u⊥v.0vul⊥a∥uaku；面面垂直l⊥ma⊥b0ab；异面直线所成角的范围：0,2ABCD1D,CDAB与的关系？思考：,DCAB与的关系？结论：coscos,CDAB||题型一：线线角•线线角•复习•线面角•二面角•小结•引入题型二：线面角直线与平面所成角的范围：[0,]2ABO,nBA与的关系？思考：n结论：sincos,nAB||题型二：线面角•线线角•复习•线面角•二面角•小结•引入题型三：二面角二面角的范围：[0,]1n2n2n1ncos12|cos,|nncos12|cos,|nnABO关键：观察二面角的范围•线线角•复习•线面角•二面角•小结•引入2、E为平面α外一点,F为α内任意一点,为平面α的法向量,则点E到平面的距离为:3、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b上的点,是a,b公垂线的方向向量,则a,b间距离为||||nEFnd||||nEFndnnnFEO解:建立空间直角坐标系B─xyz(如图),以长度a为单位长度,则xzy例1.一副三角板ABC和ABD如图摆成直二面角，若BC＝a，求AB和CD的夹角的余弦值.∴AB和CD的夹角的余弦值为3010例2.已知在四边形ABCD中，AD//BC，AD=AB=1，45,90BCDBAD°，将△ABD沿对角线BD折起到如图所示PBD的位置，使平面PBDBCD平面.⑴求证：CDPB；⑵求二面角PBCD的余弦值大小；⑶求点D到平面PBC的距离.几何法坐标法解:⑴90,BADADAB45ADBABD°//45ADBCBCD°90BDCBDDC°PBDBCDCDBCD又平面平面，平面,CDPBD平面,PBPBDCDPB平面⑵过P作PEBDE于，PBDBCD由平面平面得PEBCD平面，过E作EFBC于F,连接PF,由三垂线定理可证PFBC.∴PFE为二面角PBCD的平面角,1PBPD12190222PEBEEFBERtPEFPEF，,在中，°,tan2PEPFEEF,PBCD二面角的余弦值大小为33⑶设D到平面PBC的距离为h，由1PB可求出2BDDC，BC=2,3PC.,,PBPDPBCDPDCDDPBPCD平面CPBDDPBCPCPCDPBPCVV平面11113232PBPDDCPBPCh63PDDCPDDCPChhPC解:90BADADAB,45//45ADBABDADBCBCD°°90BDCBDDC°,如图所示建立空间直角坐标系Dxyz0,,CDPBCDPBCDPB⑵取平面BDC的法向量(001)n,,⑶过D做DMPBC平面于点M3cos3||||DCmDCmDCm，⑴22020022CDPB,，,,,,则22(000)200020022DBCP,,,,,,,,,,,设平面PBC的法向量为()mxyz,,2222022222PBPC，，，，，00200mPBxzxyzmPC，即,11xzy令，(111)m，，13cos3||||13nmnmnm，PBCD二面角的大小为3arccos36||||cos3DPBCDMDCDCm到平面的距离，一.引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是212121(,,)ABxxyyzzzxyAB求平面的法向量的坐标的一般步骤:第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.11122200xxyyzzxxyyzz例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).取z=120xzy解得:2020xyzxyz得:1OA1OD由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD证明：设a,b,c,依题意有|a|=|b|，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BDCDCB1CCBDCBCD1CCBD例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,