自动控制原理-题库-第四章-线性系统根轨迹-习题

4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。（1）210scsc，以c为可变参数。（2）3(1)(1)0sATs，分别以A和T为可变参数。（3）1()01IDPkkskGsss，分别以Pk、IK、T和为可变参数。4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为(31)()(21)KsGsss试用解析法绘出开环增益K从0变化时的闭环根轨迹图。4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。0j0j0j0j0j0j4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确定分离点坐标）。（1）()(0.21)(0.51)KGssss（2）(1)()(21)KsGsss（3）(5)()(2)(3)KsGssss4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求算出起始角）。（1）(2)()(12)(12)KsGsssjsj（2）(20)()(1010)(1010)KsGsssjsj4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为*2()()(10)(20)KszGssss试确定闭环产生纯虚根1j的z值和*K值。4-6已知系统的开环传递函数为*22(2)()()(49)KsGsHsss试概略绘出闭环根轨迹图。4-7设反馈控制系统中*2()(2)(5)KGssss（1）设()1Hs，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性（2）设()12Hss，试判断()Hs改变后的系统稳定性，研究由于()Hs改变所产生的影响。4-8试绘出下列多项式的根轨迹（1）322320sssKsK（2）323(2)100ssKsK4-9两控制系统如下图所示，试问：（1）两系统的根轨迹是否相同？如不同，指出不同之处。（2）两系统的闭环传递函数是否相同？如不同，指出不同之处。（3）两系统的阶跃响应是否相同？如不同，指出不同之处。()1Gsscr()Hs()1Gsscr()Hs4-10设系统的开环传递函数为12(1)(1)()KsTsGss（1）绘出10T，K从0变化时系统的根轨迹图。（2）在（1）的根轨迹图上，求出满足闭环极点阻尼比0.707的K的值。（3）固定K等于（2）中得到的数值，绘制1T从0变化时的根轨迹图。（4）从（3）的根轨迹中，求出临界阻尼的闭环极点及相应的1T的值。4-11系统如下图所示，试（1）绘制0的根轨迹图。（2）绘制15K，22K时，从0变化时的根轨迹图。（3）应用根轨迹的幅值条件，求（2）中闭环极点为临界阻尼时的的值。scr2(2)Kss1K4-12单位正反馈系统如下图所示2429ssscrK（1）绘制全根轨迹。（2）求使闭环系统阻尼比0.707时的K的取值。4-13对于第二章例2.15的磁悬浮试验模型的例子，静态工作点附近被控对象的传递函数描述为244()1785Gss（1）试确定反馈的极性和比例微分控制器(1)pks的参数，使闭环系统稳定，闭环极点的阻尼比0.707，无阻尼自然振荡频率10n。（2）试绘制0、0Pk两参数变化时系统的根轨迹族。4-12单位反馈系统如下图所示。(2)()Ksssacr（1）设2a，绘制K从0变化时系统的根轨迹，确定系统无超调时的K的取值，确定系统临界稳定时的K的取值。（2）设2K，绘制a从0变化时系统的根轨迹，确定系统闭环根的阻尼比0.707时的a的取值。4-13设单位反馈系统的开环传递函数是10(1)()(0.51)(1)sGssTs（1）绘出T从0变化时系统的根轨迹图。（2）求出系统处于临界稳定和临界阻尼时的T的值。（3）求20T时系统的单位阶跃响应。4-14设系统开环传递函数如下，试画出b从零变到无穷时的根轨迹图。（1）20()(4)()Gsssb（2）30()()(10)sbGsss4-15设单位反馈控制系统的开环传递函数为*(1)()(2)KsGsss试绘出其根轨迹图，并求出使系统产生重实根和纯虚根的*K值。4-16设控制系统开环传递函数为*2(1)()(2)(4)KsGssss试分别画出正反馈系统和负反馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定情况有何不同？4-17系统如下图所示5(51)sscr1aTs（1）试绘制aT从0变化时闭环系统的根轨迹。（2）为使系统的阶跃响应无振荡，aT应在什么范围内取值？4-18设单位反馈系统的开环传递函数为)2)(1()(sssKsG（1）绘制K从0变化时闭环系统的根轨迹。（2）确定使闭环系统稳定的K的取值范围。（3）为使闭环系统的调节时间10st秒（按误差带5%计算），求K的取值。解：（1）根轨迹方程为0)2)(1(1sssK；1、有三条分支，起始于开环极点01p，12p，23p，终止于无穷远处；2、实轴上的根轨迹区段为：]2,(，[0,1]；3、渐近线与实轴交点为103)2()1(0a，夹角为(21)60,180,6030ak；4、由0)]()([sHsGdsd得分离点满足02632ss，解为42.01s，58.12s（舍去，因为它不在根轨迹上），1s对应得k值为)2)(1(111sssk＝0.385。5、与虚轴的交点，将1()()0GjHj实虚部分开有322030k解出1230,01.41,61.41,6kkk根轨迹图如下图所示。j2010.421.411.41（2）60K时，闭环系统稳定。（3）按3.510snt得主导极点的实部0.35n，系统的闭环特征方程为32123(1)(2)32()()()sssKsssKssssss式中1,2,3s为系统的3个闭环特征根，设1,2ndsj为闭环共轭主导极点，显然有123323nssss这样得到32.3s。根据模值条件，32.3s时的根轨迹增益333122.31.30.30.897kKsss4-19已知某单位负反馈系统的开环传递函数为2(5)()(2)KsGsss（1）绘制根轨迹简图；（2）求闭环系统出现重根时的K值；（3）求使得闭环系统稳定且工作在欠阻尼状态的K的取值范围。解：（1）开环零点15z，开环极点10,p232pp，1m，3n。系统有三条根轨迹分支，起始于极点1p、2p和3p，一条终止于零点1z，两条趋于无穷远零点。实轴上根轨迹区域为(50,）。渐进线与实轴的交点为1231()0(2)(2)(5)0.531apppznm夹角为(21)2,32aknm在12pp与间的实轴上存在一个分离点，分离点的坐标满足11231111dzdpdpdp即2215100dd得1,20.74,6.76d（舍去）。系统的特征方程为2(2)(5)0ssKs，根轨迹与虚轴的交点满足2(2)(5)0jjKj即2354(4)0KKj分别令实部和虚部等于零有2540K和340K，解得16,=4.47K。根轨迹如下图。-1-2-3-4-524-2-41z2,3p1pj1（2）根轨迹的分离点处出现重根，根据模值条件有20.81500.81520.2740.8155K（3）当K取值为(0.274,16)时，闭环系统稳定且工作在欠阻尼状态。4-20设单位反馈系统的开环传递函数为()(1)(1)KGsssTs式中2K，1T，0为变化参数。（1）试绘制参数变化时，闭环系统的根轨迹图，给出系统为稳定时的取值范围。（2）求使3成为一个闭环极点时的取值。（3）取（2）中给出的值时，求系统其余的两个闭环极点，并据此计算系统的调节时间（按5%误差计算）和超调量。解：（1）系统的特征方程为322(1)(1)(1)(1)220ssTsKsssssss等效的开环传递函数为222(1)(1)()()2(0.51.32)(0.51.32)ssssGsHssssjsj绘制根轨迹如下图。jjj0.511.32j1.32j图中根轨迹与虚轴的交点可从系统为临界稳定的条件12得到1。1时系统的特征方程为32222(2)(1)0sssss得与虚轴交点的坐标为jj。从根轨迹得到系统稳定的的取值范围为01。（2）3成为一个闭环极点时，从根轨迹的模值条件有223311(3)(3)2得40.4449。（3）0.444时，系统的另外两个闭环根从特征方程322322211299916(3)()044244sssssssssss求出为0.1251.218j，显然它是系统的主导极点。系统的调节时间和超调量分别为220.125111.2183.5280.125%100%100%100%100%72.5%nnndstseeee4-21系统如下图所示。试绘制系统的根轨迹，并写求出当闭环共轭复数极点的阻尼比0.707时，系统的单位阶跃响应的表达式。(0.251)(0.51)Kssscr0.51s