2012-2013第一学期《数学建模》选修课期末考试题

2012-2013第一学期《数学建模》选修课试题卷班级：***姓名：***学号：***成绩：第2页共13页一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1．模型所谓模型是指为了某个特定目的将原型所具有本质属性的某一部分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物。2．数学模型数学模型就是对某种事物系统的特征和数量关系，借助数学语言而建立起来的符号系统。3．抽象模型抽象模型，即理想模型。分为思维模型、符号模型、数学模型等。二、简答题（每小题满分8分，共24分）1．模型的分类模型一般分为具体模型和抽象模型两大类。具体模型有直观模型、物理模型等，抽象模型有思维模型、符号模型、数学模型等。2．数学建模的基本步骤1）、建模准备：确立建模课题的过程；2）、建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化。有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；3）、构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型.；4）、模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；5）、模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。；6）、模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际；7）、模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用.3．数学模型的作用数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此，数学模型在科学发展、科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用数学不仅是人们认识世界的有力工具，而且对于人的素质培养，无论是在自然科学，还是社会科学中都随时发生着作用，使其终生受益。特别是，当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透，产生了众多的边缘学科。数学模型还物化于各种高新科技之中，从家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站到卫星，从新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高质量、第3页共13页高效率等特点无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算、控制来实现的。三、解答题（满分20分）C题(9n+2,9n+4)某人从南郊前往北郊火车站乘火车,有两条路可走.第一条路穿过市中心,路程较短,但交通拥挤,所需时间(以分钟计)服从正态分布(35,80)N；第二条路沿环城公路走,路程较长,但意外阻塞较少,所需时间服从正态分布(40,20)N.试问(1)假如有50分钟时间可用,应走哪条路？(2)若只有40分钟时间可用,又应该走哪条路线？设X表示“该人沿第一条路线从南郊到北郊火车站所需的时间”,Y表示“该人沿第二条路线从南郊到北郊火车站所需的时间”,依题意~(35,80)XN,~(40,20)YN.(1)若有50分钟可用,由于P{X≦50}=Ф(803550)≈Ф(1.68)=0.95352,P{Y≦50}=Ф(204050)≈Ф(2.24)≈0.98745.于是,该人从南郊到北郊火车站沿第二条路走,在50分钟内到达的概率比沿第一条路的概率大,故此时应选择第二条路走.(2)若有40分钟可用,由于P{X≦40}=Ф(803550)≈Ф(0.56)=0.71226,P{X≦40}=Ф(204040)≈Ф(0)=0.5.因此,该人从南郊到北郊火车站沿第一条路走,在40分钟内到达的概率比沿第二条路的概率大,故此时应选择第一条路走.四、综合题（21分）L.跑步中的数学问题(7n+2,7n+6,7n+4)跑步是基本活动技能，是人体快速移动的一种动作姿势。跑步和走路的主要区别在于两腿在交替落地过程中有一个腾空阶段。跑步是最简便而易见实效的体育健身内容。近二三十年来，跑步已成为国内外千百万人参加的群众健身运动，是第4页共13页深受广大群众所欢迎的健身项目。人们普遍认为跑步是最好的健身方法。每个正常人都经历过跑步，有人会疲惫不堪。我们的问题是：怎样跑不能使我们消耗的能量尽可能的少？论文题目：如何跑步使我们消耗的能量尽可能的少论文摘要：在现实生活中我们在日常的运动中常常碰到一些问题，其中我们最关心的就是我们在跑步的过程中如何让我们的能量消耗的更少，如何去通过数学建模来解决实际生活中的问题。关键词：尽可能少的能量算法论文正文：问题提出：我们如何去应用数学模型去解答跑步中消耗能量的问题，这个问题是我们现在面临的。假设：（1）跑步所花费的时间分成两部分：第一部分为两条腿同时离开地面的时间；第二部分为一条腿或两条腿同时落地的时间。这样人的身体重心如图所示。根据经验不妨设hd=ba（2）假设跑步是匀速的，速度为v.跑步所消耗的能量为Wf=(h+d)mgm为身体的质量Ws=21m′vm′为腿部的质量于是，跑步时所消耗的能量总和为W=Wf+Ws=(h+d)mg+21m′v（3）用L表示人的身高，不妨设m、m′与L3成正比，a与L成正比，即mC1=L3，m′=C2L3，a=C3L.模型求解重心离开B上升到最高点所需要的时间t=vb2因此，最高的高度为第5页共13页222821vgbgth所以222'218)(vmvbmgbaW五、复述题（21分）R.椅子放稳模型(3n+2）论文题目：椅子放稳模型的问题分析论文摘要：在日常生活中，将一张四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地,而使椅子不平稳。但我们的祖先为什么把都把椅子做成四脚连线呈正方形，矩形或等腰梯形。请你通过建立模型解释这一现象。关键词：椅子放稳四脚连线论文正文：一、问题重述在日常生活中，将一张四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，而使椅子不平稳。我们通过建立模型分别解决以下问题：1．解释只需适当将椅子“挪动”几次就可使椅子放稳这一现象；2．如果椅子的四只脚构成一个平行四边形，通过适当的“挪动”能够放稳吗？3．椅子的四只脚满足什么条件通过挪动就可使椅子放稳？最后对模型进行了分析和推广。二、模型假设为使问题简化，便于解决，我们作如下合理假设：1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对椅子所占的地面面积可视为一个点，四脚的连线呈正方形；2．地面凹凸坡面是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（如没有象台阶那样的情况），即地面可看作数学上的连续曲面；3．相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地；4．挪动仅只是绕一个定点的旋转。第6页共13页假设1显然是合理的。否则即便放在平面上也不会是椅子放稳。假设2相当于给出了椅子能够放稳的必要条件，因为如果地面高度不连续（比如在有台阶或裂缝的地方）是无法使椅子四只脚同时着地。假设3是要排除地面上与椅脚间距和椅子腿长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（即使连续变化的），将使椅子三只脚也无法同时着地。三、建模与分析首先，根据假设1，椅脚连线呈正方形,而正方形以中心为对称,即正方形绕中心的旋转可以表示椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。如图椅脚连线为正方形ABCD，在图所示的坐标系下对角线AC与ox轴重合,椅子绕中心o旋转角度θ后,正方形ABCD转至A′B′C′D′的位置，如图所示，即对角线AC与ox轴的夹角表示了椅子的位置。其次，要把椅子着地用数学符号表示出来。如果用某个变量表示椅脚与地面的竖值距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了。椅子在不同的位置时，椅脚与地面的距离不尽相同，所以这个距离是变量的函数。虽然椅子有四只脚，因而有四个距离，即每一个椅脚和地面都有一个距离。但由假设3以及正方形关于中心的对成性，只要设两个距离就可以了。设A、C两第7页共13页脚与地面的距离之和为)(f，B、D两脚与地面的距离之和为)(g,显然)(f、0)(g。由假设2知)(f、)(g都是连续函数。在由假设3知，椅子在任何位置上至少有三只脚着地，所以对于任意的，)(f、)(g中至少有一个为零。当0时，不妨设0)(f、0)(g。另一方面，由对称性知道，旋转2的角度后，相当于AC和BD互换一个位置.故有0)2(f，0)2(g，这样，改变椅子位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下数学命题。命题1已知)(f和)(g是的连续函数，对任意的，有0)()(gf，且0)0(f、0)0(g，0)2(g、0)2(f，则存在]2,0[0，使得0)()(00gf.可以看到，引入变量和函数)(f和)(g，就把模型的假设条件和椅脚同时着地的结论用简单而精确的数学语言表示出来，从而构成了这个实际问题的数学模型。四、模型求解令)()()(gfh，则0)0(h和0)2(h.由)(f，)(g的连续性知)(h为]2,0[上连续函数，根据闭区间上连续函数的介质性定理,必存在一个]2,0[0，使0)(0h，即)()(00gf.因为0)()(gf，所以0)()(00gf.五、模型的分析及推广1.模型分析模型的优点在于用一元变量表示了椅子的位置，用的两个函数表示了椅子四只脚与地面的距离，充分运用了正方形关于中心的对称性，使得问题得到了极大的评注和思考和)(f)(f，)(g的确定假设条件的本质与非本质如果椅子四角连线呈长方形，又将如何？第8页共13页简化，并得到了逻辑上的求解。缺点在于运用了正方形关于中心的对称性，使模型的适应范围受到了一定的局限，如对一般四边形是否也适应，未能作出回答；而且也未能考虑到平行移动的情形。2.如果椅脚连线呈矩形，其结论也成立。事实上，如图建立坐标系，A、B、C、D表示椅子的四只脚.假设条件只需将正方形假设条件中的正方形改为矩形。设)(f表示相邻两脚A、B与地面的距离之和，)(g表示相邻两脚C、D两脚与地面的距离之和。由矩形对性知道,旋转180°度的角后，相当于AB和CD互换一个位置。这样，改变椅子位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下数学命题：命题2命题2已知)(f和)(g是的连续函数,对任意的，有0)()(gf，且0)0(f、0)0(g，0)(f、0)(g，则存在],0[,使得0)()(00gf.3.模型的进一步分析与推广由于正方形和矩形的任意一个顶点通过适当的旋转，可到达每一个顶点，即就是说正方形和矩形的四个顶点绕其中心旋转一周所得轨迹是同一个圆周。这也就是正方形和矩形的四个顶点共圆，可通过适当的旋转将椅子放平稳。那么，椅子四脚连线所构成的四边形是圆内接四边形，是否一定可通过适当的旋转可将椅子放平稳？反之，通过适当的旋转可将椅子放平稳，椅子四脚连线是否一定是圆内接四边形？我们先看一个实例，设地面为一个足够大的球面部分，其方程为：第9页共13页)10000(10000)10000(2222zzyx椅子四只脚构成一菱形ABCD，对角线的长度分别为AC=8，BD=6。根据球面的特点，要使得菱形ABCD的顶点至少有三个在球面上，则其三个顶点必在同一个圆上。不妨取菱形ABCD所在的平面与球面的截痕及菱形，在xoy面上投影图如示图，其圆周的半径为825RACR84252625R))625(1000010000,611,0(22D于是D点到底面即球面的距离为:0100007)625(10000)611(1000022d这说明通过旋转永远也不可能将椅子放稳。即就是说椅子四脚连线所构成的四边形不是园内接四边形，通过旋转不可能将椅子放稳。下面我们来讨论另一个问题。众所周知，我们日常生活中所遇到的椅子大都是四脚连线呈等腰梯形，那么，对这样的椅子甚至四脚连