等腰三角形中的M型全等

等腰三角形中的M型全等1.（2014•海拉尔区模拟）将一个有45°角的三角板的直角顶点C放在一张宽为5cm的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另一边沿上，测得∠DBC=30°，则三角板的最大边的长为（）A．5cmB．10cmC．10cmD．5cm2．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，BC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A，D，E按逆时针方向）．如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．（1）求证：∠1=∠2．（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．（3）如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E′，是否存在点D，使△ADE′是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．3．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=_________°，∠DEC=_________°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_________（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．10．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，BC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A，D，E按逆时针方向）．如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．（1）求证：∠1=∠2．（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．（3）如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E′，是否存在点D，使△ADE′是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所有分析：（1）求出∠B=45°，根据三角形外角性质得出∠1+∠B=∠ADC=45°+∠2，求出即可．（2）分为三种情况，①DE=AE，②AD=AE，③AD=DE，根据等腰三角形性质（等腰三角形两边相等），三角形全等推出即可．（3）存在，条件是CD=AC，求出∠DE′A=∠CAD=22.5°，根据CD=CA可得∠CAD=∠ADC，∠ADE=45°可根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠CAD；再根据∠CAD+∠E′=∠ADE可得∠CAD=∠E′．解答：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∵∠ADE=45°，∴∠ADC=∠B+∠1=∠ADE+∠2，即45°+∠2=45°+∠1，∴∠1=∠2．（2）解：当△ADE是等腰三角形时，分为以下三种情况：第一种情况：DE=AE，∵DE=AE，∴∠ADE=∠DAE=45°=∠C，∴∠AED=90°，∠ADC=90°，即DE⊥AC，∴AD=DC，∴E为AC的中点，∴AE=AC=×2=1；第二种情况：AD=AE，此时D和B重合，E和C重合，即AE=AC=2；第三种情况：AD=DE，∵在△ABD和△DCE中∴△ABD≌△DCE，∴BD=CE，AB=DC，设BD=CE=x，在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=AC=2，BC=2，∴DC=2﹣x，∴2﹣x=2，x=2﹣2，∴AE=2﹣（2﹣2）=4﹣2，综合上述：AE的值是1，2，4﹣2．（3）解：存在，当D在BC延长线上，且CD=CA时，△ADE′是等腰三角形，理由是：∵∠ACB=45°，∴∠ADB＜45°，∴∠EDB＜90°，∴∠BDE′永远是钝角，∴∠ADE′是钝角，即∠ADE′只能为等腰△ADE′的顶角，∵∠ADE=45°=∠ACB=∠DCE′，又∵CD=CA，∴∠CAD=∠CDA=22.5°，∴∠EDC=67.5°，∴∠DE′C=∠EDC﹣∠DCE′=22.5°，∴∠CAD=∠CE′D，∴DA=DE′，∴△ADE′是等腰三角形．点评：本题考查了等腰三角形的性质与等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形等指示灯的应用，用了分类讨论思想．11．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=25°，∠DEC=115°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定．菁优网版权所有分析：（1）根据∠BDA=115°以及∠ADE=40°，即可得出∠EDC=180°﹣∠ADB﹣∠ADE，进而求出∠DEC的度数，（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE，（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．解答：解：（1）∠EDC=180°﹣∠ADB﹣∠ADE=180°﹣115°﹣40°=25°，∠DEC=180°﹣∠EDC﹣∠C=180°﹣40°﹣25°=115°，小；（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，∴△ABD≌△DCE（AAS），（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由：∵∠BDA=110°时，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA的度数为80°时，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE的形状是等腰三角形．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练地应用等腰三角形的性质是解决问题的关键．