高考数学复习 第十一讲 立体几何之空间距离

第十一讲立体几何之空间距离一、空间距离包括：点与点、点与线、点与面、线与线（异面直线）、线与面（线面平行）、面与面（面面平行）的距离。要理解各个距离的概念。二、空间距离的求法重点掌握：线线距离、点面距离、尤其点面距离（1）线线距离：找公垂线段（2）点面距离①直接法（过点向面作作垂线段，即求公垂线段长度）②等体积法（三棱锥）③向量法：设平面的法向量为n，P为平面外一点，Q是平面内任一点，则点P到平面的距离为d等于PQ在法向量n上的投影绝对值。nPQnd三、例题讲解1、下列命题中：①ABCDPA矩形所在的平面，则P、B间的距离等于P到BC的距离；②若,,,//baba则a与b的距离等于a与的距离；③直线a、b是异面直线，,//,ba则a、b之间的距离等于b与的距离④直线a、b是异面直线，,//,,且ba则a、b之间的距离等于、间的距离其中正确的命题个数有（C）A.1个B.2个C.3个D.4个2、如图所示，正方形的棱长为1，C、D为两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是____________。解析：取AB、CD中点P、Q，易证MPQ中，PQ边长的高MH为所求，423,22PQPM32MH3、在底面是正方形的四棱锥A-BCDE中，BCDEAE底面且AE=CD=a,G、H是BE、ED的中点，则GH到面ABD的距离是____________。解析：连结EC，交BD于O，且交GH于O，则有平面ABDAEO面。过E作AOEK于K，则所求距离等于aAOEOAEEK6321214、如图，在棱长为a的正方体1111DCBAABCD中，E、F分别为棱AB和BC的中点，G为上底面1111DCBA的中心，则点D到平面EFB1的距离___________。解：方法1：建立如图直角坐标系，则,0,2,,0,,0,0,,,0,0,aaEaCaaBaAaaaGaaaBaaF,2,2,,,,0,,21设平面FEB1的法向量为zyxn,,1aaEBaaEF,2,0,0,2,210,0111EBnEFn02102022zyazyaxyyaxa取2y,则1,2zx可取1,2,21n又aaaDB,,1D到平面EFB1的距离aaaannDBd322111方法2：等体积法设D到平面EFB1的距离为hEFBDDEFBVV11EFB1是等腰三角形，取EF中点H，连结HB1EFBDEFShSa13131可得aHB4231aahaaa42322214232221ah即D到平面EFB1的距离为a。5、如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边AB上的高CD为棱折成一个60的二面角，使B到1B的位置，已知AB=2，求（1）顶点C到平面DBA的距离（2）顶点A到平面DBC的距离（3）CD和BA的之间的距离分析：有关立体几何中的翻折问题，主要判断翻折前后各种量的变化与否。解析：（1）由已知得ABCD,即BDCDADCD,在翻折前后它们的位置关系不变，BADCD面，则C点到平面BAD的距离就是CD的长，ABC为等腰三角形，AB=2,1CD（2）如图所示，过A作DBAE于E，连结CECDBCDBADCD面面,BADCDB面平面CDBAE面故AE的长为A点到平面CDB的距离DCDBDCAD,BAD为平面ACD与平面CDB所成二面角的平面角即60BAD23AE（3）如图二，平面DBA中，过D作BADF，交AB于F点DBADFDBACD,平面DFCDDF为异面直线CD和BA的距离由BDAEBADF得23DF6、（06海淀模拟）如图所示，在直三棱柱ABCCBA111中,21CACBCC,CBACD、E分别为棱111CC，，BC中点（1）求点B到平面CACA11的距离（2）求二面角ADAB1的大小（3）在线段AC上是否存在一点F，使BDAEF1面？若存在，确定其位置并证明结论，若不存在，说明理由。解析：（1）ABCCBA111为直三棱柱ABCCC底面1BCCC1CBACCACABC11平面BC长度即为B点到平面CACA11的距离2BC点B到平面CACA11的距离为2。（2）ABCCBA111是直三棱柱,,21CBACCACBCCD、E分别为棱111CC，，BC中点建立如图直角坐标系,2,0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,01CABC2,0,1,1,0,0,2,2,0,2,0,211EDAB1,0,2BD2,2,21BA设平面BDA1的法向量为,,1n21022202001得即BAnBDn2,1,1n平面11AACC的法向量为0,0,1m6661,cosmn即二面角ADAB1的大小为66arccos。（3）在线段AC上存在一点F，设0,,0yF使得BDAEF1面欲使BDAEF1面由（2）知当且仅当EFn//12,,1yyEF存在唯一一点0,1,0F满足条件即点F为AC的中点7、（06年福建）如图所示，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2。（1）求证：BCDAO面（2）求异面直线AB与CD所成角的大小（3）求点E到平面ACD的距离解析：方法1（1）连结OCBDCOCDBCDOBOBDAOADABDOBO,,在AOC中，由已知可得3,1COAO而AC=2222ACCOAOOCAOAOC即90OOCBDBCDAO面（2）取AC中点M，连结OM，ME，OE，由于E为BC的中点知ME//AB，OE//DC直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在OME中，121,2221DCOEABEMOM是直角三角形AOC斜边AC上的中线121ACOM42cosOEM异面直线AB与CD所成角的大小为42arccos。（3）设点E到平面ACD的距离为hCDEAACDEVVCDEACDSAOSh3131在ACD中，2,2ADCDCA2722222122ACDS而2324321,12CDESAO721ACDCDESSAOh点E到平面ACD的距离为721。方法2：（1）同方法1（2）以O为原点，如图四所示建立空间直角坐标系，则0,23,21,1,0,0,0,3,0,0,0,1,0,0,1EACDB0,3,1,1,0,1CDBA42cosCDBACDBACDBA异面直线AB与CD所成角的大小为42arccos。（3）设平面ACD的法向量zyxn,,则01,3,0,,01,0,1,,zyxACnzyxADn030zyzx令1y得3,1,3n是平面ACD是一个法向量又0,23,21EC点E到平面ACD的距离为72173nnECh。