高三数学寒假作业(二十一) 选修4-5 不等式选讲

寒假作业(二十一)选修4－5不等式选讲(注意解题的准度)1．(2018届高三·广东五校联考)已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若a＝1，解不等式：f(x)≥4－|x－1|；(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，1m＋12n＝a(m0，n0)，求mn的最小值．解：(1)当a＝1时，不等式为|x－1|≥4－|x－1|，即|x－1|≥2，∴x－1≥2或x－1≤－2，即x≥3或x≤－1，∴原不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(2)f(x)≤1⇔|x－a|≤1⇔－1≤x－a≤1⇔a－1≤x≤a＋1，∵f(x)≤1的解集为[0,2]，∴a－1＝0，a＋1＝2，得a＝1.∴1m＋12n＝1≥212mn(m0，n0)，∴mn≥2当且仅当1m＝12n＝12，即m＝2，n＝1时取等号.∴mn的最小值为2.2．已知a，b，c，d均为正数，且ad＝bc.(1)证明：若a＋db＋c，则|a－d||b－c|；(2)若t·a2＋b2·c2＋d2＝a4＋c4＋b4＋d4，求实数t的取值范围．解：(1)证明：由a＋db＋c，且a，b，c，d均为正数，得(a＋d)2(b＋c)2，又ad＝bc，所以(a－d)2(b－c)2，即|a－d||b－c|.(2)因为(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2，所以t·a2＋b2·c2＋d2＝t(ac＋bd)．由于a4＋c4≥2ac,b4＋d4≥2bd，又已知t·a2＋b2·c2＋d2＝a4＋c4＋b4＋d4，则t(ac＋bd)≥2(ac＋bd)，故t≥2，当且仅当a＝c，b＝d时取等号．所以实数t的取值范围为[2，＋∞)．3．(2017·南昌模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R.(1)若不等式f(x)≤2－|x－1|有解，求实数a的取值范围；(2)当a2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值．解：(1)由f(x)≤2－|x－1|，可得x－a2＋|x－1|≤1.而由绝对值的几何意义知x－a2＋|x－1|≥a2－1，由不等式f(x)≤2－|x－1|有解，得a2－1≤1，即0≤a≤4.故实数a的取值范围是[0,4]．(2)函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当a2，即a21时，f(x)＝－3x＋a＋1，xa2，x－a＋1，a2≤x≤1，3x－a－1，x1.所以f(x)min＝fa2＝－a2＋1＝3，得a＝－42(符合题意)，故a＝－4.4．(2017·洛阳统考)已知f(x)＝|2x－1|－|x＋1|.(1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；(2)若a＋b＝1，对∀a，b∈(0，＋∞)，1a＋4b≥3f(x)恒成立，求x的取值范围．解：(1)由已知，得f(x)＝－x＋2，x－1，－3x，－1≤x≤12，x－2，x12，函数f(x)的图象如图所示．(2)∵a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，∴1a＋4b＝1a＋4b(a＋b)＝5＋ba＋4ab≥5＋2ba·4ab＝9，当且仅当ba＝4ab，即a＝13，b＝23时等号成立．∵1a＋4b≥3(|2x－1|－|x＋1|)恒成立，∴|2x－1|－|x＋1|≤3，结合图象知－1≤x≤5，∴x的取值范围是[－1,5]．