趣味数学---第七周---斐波那契数列

1趣味数学2我们先计算下面两道题！3二十秒钟加数请用20秒，计算出左边一列数的和。1235813213455+89??时间到！答案是231。4四十秒钟加数再来一次！3455891442333776109871597+2584????时间到！答案是6710。5这与“斐波那契数列”有关若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：1,1,2,3,5,8,13,……6一、兔子问题和斐波那契数列1．兔子问题1）问题——取自意大利数学家斐波那契的《算盘书》（1202年）(L.Fibonacci,1170-1250）72．斐波那契生平斐波那契（Fibonacci.L,1175—1250）出生于意大利的比萨。他小时候就对算术很有兴趣。后来，他父亲带他旅行到埃及、叙利亚、希腊（拜占庭）、西西里和普罗旺斯，他又接触到东方国家的数学。斐波那契确信印度—阿拉伯计算方法在实用上的优越性。1202年，在回到家里不久，他发表了著名的《算盘书》。8斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重视，因而被邀请到宫廷参加数学竞赛。他还曾向官吏和市民讲授计算方法。他的最重要的成果在不定分析和数论方面，除了《算盘书》外，保存下来的还有《实用几何》等四部著作。9六、斐波那契协会和《斐波那契季刊》1．斐波那契协会和《斐波那契季刊》斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，…之后，并没有进一步探讨此序列，并且在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活跃起来，成为热门的研究课题。10有人比喻说，“有关斐波那契数列的论文，甚至比斐波那契的兔子增长得还快”，以致1963年成立了斐波那契协会，还出版了《斐波那契季刊》。11兔子问题假定一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔,再过一个月便能生下一对小兔,并且以后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。那么,由一对刚出生的兔子开始,12个月后会有多少对兔子呢?12解答1月1对13解答1月1对2月1对14解答1月1对2月1对3月2对15解答1月1对2月1对3月2对4月3对16解答1月1对2月1对3月2对4月3对5月5对17解答1月1对2月1对3月2对4月3对5月5对6月8对18解答1月1对2月1对3月2对4月3对5月5对6月8对7月13对19解答可以将结果以列表形式给出：1月2月3月5月4月6月7月8月9月11月10月12月1123581321345589144因此，斐波那契问题的答案是144对。以上数列，即“斐波那契数列”20兔子问题的另外一种提法：第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二个月时，共有多少对兔子？规律月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ大兔对数1123581321345589144小兔对数01123581321345589到十二月时有大兔子144对，小兔子89对，共有兔子144+89=233对。212）斐波那契数列令n=1,2,3,…依次写出数列，就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…这就是斐波那契数列。其中的任一个数，都叫斐波那契数。22二、相关的问题斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命力。发人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现。24自然界中的斐波那契数斐波那契数列中的任一个数，都叫斐波那契数。斐波那契数是大自然的一个基本模式，它出现在许多场合。下面举几个例子。251）花瓣数中的斐波那契数大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。例如，兰花、茉利花、百合花有3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣。26花瓣中的斐波那契数花瓣的数目马蹄莲（1）27白色马蹄莲（1）28虎刺梅（2）29紫露草（3）30铁兰（3）31铁兰（3）32花瓣中的斐波那契数花瓣的数目洋紫荊（5）黃蝉（5）蝴蝶兰（5）33花瓣中的斐波那契数花瓣的数目雏菊（13）雏菊（13）兰花132苹果花15324格桑花12534687雏菊1234567891011121338358132134402）树杈的数目13853211413）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数向日葵花盘上的螺旋线条，顺时针数２１条；反向再数就变成了３４条．是不是很有意思呀！43向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数。44多叶芦荟，又名螺旋芦荟45松果种子的排列46松果种子的排列47松果种子的排列48菜花表面排列的螺线数（5-8）49这一模式几个世纪前已被注意到，此后曾被广泛研究，但真正满意的解释直到1993年才给出。这种解释是：这是植物生长的动力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角是黄金角——137.50776度；这使种子的堆集效率达到最高。502）用斐波那契数列及其推广变魔术①让观众从你写出的斐波那契数列中任意选定连续的十个数，你能很快说出这些数的和。其实有公式：这个和，就是所选出的十个数中第七个数的11倍。1123581321345589144233377610987…51“二十秒钟加数”的秘密数学家发现：连续10个斐波那契数之和，必定等于第7个数的11倍！1235813213455+89??所以右式的答案是：2111=23152“二十秒钟加数”的秘密又例如：右式的答案是：3455891442333776109871597+2584????61011=671053推广的斐波那契数列与斐波那契数列一样，与黄金分割有密切的联系：该数列相邻两数之比，交替地大于或小于黄金比；并且，两数之比的差随项数的增加而越来越小，趋近于0，从而这个比存在极限；而且这个比的极限也是黄金比。51254类似于前面提到的数列其极限也是51211112358,,,,,,,,,1235813nnnnuuvv习题、过河问题1有一个农夫，带了一包米，一只鸡和一只狗准备要过河。当农夫不在时，鸡会吃米，狗会吃鸡，河边有一艘船，农夫在船上一次只能带一样东西，请问农夫该怎么过河？初级过河问题解答农夫带鸡过河，空手回；农夫带狗过河，带鸡回；农夫带米过河，空手回；农夫带鸡过河。作业、1、求2、3、4、已知求5701)2(2yx2015)(yx2331)2()102(43275.0315.0253,7ba的值和baba,