九年级数学小专题(三)-特殊平行四边形中的最值问题

小专题(三)特殊平行四边形中的最值问题【例】(盐城中考)如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上．已知EP＝FP＝4，EF＝43，∠BAD＝60°，且AB＞43.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝6，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．[来源:学+科+网Z+X+X+K]【思路点拨】(1)求∠EPF的大小，就是解△EFP，通过作底边上的高转化为直角三角形解决；(2)这里∠BAD＋∠EPF＝180°，PE＝PF，可通过构造全等三角形解决问题；(3)观察图形，作PM⊥AB于M，AP的长随PM大小的变化而变化．【方法归纳】动态图形中最值问题关键要改变思考的角度，善于转化为另一个量的最值问题考虑．[来源:学.科.网Z.X.X.K][来源:Z#xx#k.Com]1．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离是多少？2．以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，求线段AB的最小值．参考答案【例】(1)过点P作PG⊥EF，垂足为G.∵PE＝PF，PG⊥EF，∴FG＝EG＝23，∠FPG＝∠EPG＝12∠EPF.∵EP＝4，∴在Rt△FPG中，由勾股定理得PG＝2.∴PG＝12PF.∴∠PFG＝30°.∴∠FPG＝60°.∴∠EPF＝2∠FPG＝120°.（20作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为M、N.在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC，∴点P到AB、AD两边的距离相等，即PM＝PN.∵在Rt△PME和Rt△PNF中，PM＝PN，PE＝PF，新*课*标*第*一*网∴Rt△PME≌Rt△PNF.∴FN＝EM.在Rt△PMA中，∠PMA＝90°，∠PAM＝12∠DAB＝30°，∴AM＝33.同理：AN＝33.∴AE＋AF＝(AM－EM)＋(AN＋NF)＝AM＋AN＝63.（3）当EF⊥AC，点P在EF右侧时，AP有最大值，当EF⊥AC，点P在EF左侧时，AP有最小值．故AP的最大值为8，AP的最小值为4.针对训练1.取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE＋DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大．∵AB＝2，BC＝1，∴OE＝AE＝12AB＝1，DE＝AD2＋AE2＝12＋12＝2.∴OD的最大值为2＋1.2.∵四边形CDEF是正方形，∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD.∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°.∴∠COA＋∠AOD＝90°，∠AOD＋∠DOB＝90°.∴∠COA＝∠DOB.∵在△COA和△DOB中，∠OCA＝∠ODB，OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，∴△COA≌△DOB.∴OA＝OB.∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形．由勾股定理得AB＝OA2＋OB2＝2OA，要使AB最小，只要OA取最小值即可，根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，∵四边形CDEF是正方形，∴FC⊥CD，OD＝OF＝OC.∴CA＝DA.∴OA＝12CF＝1.∴AB＝2.∴AB的最小值为2.