2019-2020年初中数学自主招生考试试题(含解析)

2019-2020年初中数学自主招生考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．1．把不等式组：的解集表示在数轴上，正确的是（）A．B．C．D．2．已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为（）A．0.21×10﹣4B．2.1×10﹣4C．2.1×10﹣5D．21×10﹣63．化简÷（1+）的结果是（）A．B．C．D．4．如图，一根直尺EF压在三角形30°的角∠BAC上，与两边AC、AB交于M、N，那么∠CME+∠BNF是（）A．135°B．150°C．180°D．不能确定5．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（）A．1B．C．D．26．设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m（m＞0）的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（）A．2＜α＜β＜3B．2＜α＜3＜βC．α＜2＜β＜3D．α＜2且β＞37．如图，函数y=﹣x与函数y=﹣的图象相交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，则四边形ACBD的面积为（）A．8B．6C．4D．28．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A．a2﹣πB．4﹣πC．πD．（4﹣π）a29．有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；③菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1＜d＜7．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．在平面直角坐标系中，对于平面任一点（a，b），若规定以下三种变换：①f（a，b）=（﹣a，b），如，f（1，3）=（﹣1，3）；②g（a，b）=（b，a），如，g（1，3）=（3，1）；③h（a，b）=（﹣a，﹣b），如，h（1，3）=（﹣1，﹣3）．按照以下变换有：f（g（2，﹣3））=f（﹣3，2）=（3，2），那么f（h（5，﹣3））等于（）A．（﹣5，﹣3）B．（5，﹣3）C．（5，3）D．（﹣5，3）11．如图，△OAB中，OA=OB，∠A=30°，⊙O与AB相切，切点为E，并分别交OA，OB于C，D两点，连接CD．若CD等于，则扇形OCED的面积等于（）A．πB．πC．πD．π12．如图，在菱形ABCD中，AB=BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．13．分解因式：x3﹣4x2﹣12x=．14．风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，若选出一人担任班长，则组长是男生的概率为．15．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连接DE交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则的值是．16．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于（结果保留根号）．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于P．已知A（2，3），B（1，1），D（4，3），则点P的坐标为（，）．18．如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为．三、解答题：本大题共6个小题，共46分．19．计算：（）﹣2﹣6sin30°+（﹣2）0+|2﹣|；（2）先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x=﹣3．20．童星玩具厂工人的工作时间为：每月22天，每天8小时．工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资500元，按月结算．该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A种产品可得报酬1.50元，每生产一件B种产品可得报酬2.80元．该厂工人可以选择A、B两种产品中的一种或两种进行生产．工人小李生产1件A产品和1件B产品需35分钟；生产3件A产品和2件B产品需85分钟．（1）小李生产1件A产品需要分钟，生产1件B产品需要分钟．（2）求小李每月的工资收入范围．21．关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan（α+β）=③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：tan105°=tan（45°+60°）====﹣（2+）．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．22．如图1，四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC、AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG；（2）以线段DE、DG为边作出正方形DEFG，连接KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．23．已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上，以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点．（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO，求证：△CAO∽△BCO；（2）如果AP=m（m是常数，且m＞1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项，当点C在圆O上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）．24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，点A，D的坐标分别为（5，0）和（3，0）．（1）求点C的坐标；（2）求DE所在直线的解析式；（3）设过点C的抛物线y=2x2+bx+c（b＜0）与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点G，使得△CMG为等边三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．1．把不等式组：的解集表示在数轴上，正确的是（）A．B．C．D．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【专题】压轴题．【分析】分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，解不等式②，得x≤1，所以不等式组的解集是﹣1＜x≤1．故选：B．【点评】不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画．＜，≤向左画）．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示．“＜”，“＞”要用空心圆圈表示．2．已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为（）A．0.21×10﹣4B．2.1×10﹣4C．2.1×10﹣5D．21×10﹣6【考点】科学记数法—表示较小的数．【专题】应用题．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：0.000021=2.1×10﹣5．故选C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．化简÷（1+）的结果是（）A．B．C．D．【考点】分式的混合运算．【分析】首先对括号内的式子通分相加，然后把除法转化成乘法，进行约分即可．【解答】解：原式=÷=•=．故选A．【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．4．如图，一根直尺EF压在三角形30°的角∠BAC上，与两边AC、AB交于M、N，那么∠CME+∠BNF是（）A．135°B．150°C．180°D．不能确定【考点】三角形内角和定理．【分析】根据三角形内角和可以求得∠AMN+∠ANM的度数，然后根据对顶角相等，从而可以求得∠CME+∠BNF的度数．【解答】解：∵∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∠A=30°，∴∠AMN+∠ANM=180°﹣∠A=180°﹣30°=150°，∵∠AMN=∠CME，∠ANM=∠BNF，∴∠AMN+∠ANM=150°，故选B．【点评】本题考查三角形内角和定理、对顶角的性质，解题的关键是明确三角形内角和，利用数形结合的思想解答．5．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（）A．1B．C．D．2【考点】等腰直角三角形；解直角三角形．【分析】先作DE⊥AB于E，再根据tan∠DBA=，求得BE=5AE，最后根据AB=AE+BE=AE+5AE=6，求得AE=，并在等腰直角三角形ADE中，由勾股定理求得AD即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，∵tan∠DBA==，∴BE=5DE，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE，∴BE=5AE，又∵AC=6，∴AB=6，∴AE+BE=AE+5AE=6，∴AE=，∴在等腰直角三角形ADE中，由勾股定理得AD=2，故选（D）【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及直角三角形，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式进行求解．6．设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m（m＞0）的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（）A．2＜α＜β＜3B．2＜α＜3＜βC．α＜2＜β＜3D．α＜2且β＞3【考点】根与系数的关系．【分析】令m=0，根据已知条件得出函数出y=（x﹣2）（x﹣3）的图象与x轴的交点分别为（2，0），（3，0），再根据m＞0，得出原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，从而得出答案．【解答】解：令m=0，则函数出y=（x﹣2）（x﹣3）的图象与x轴的交点分别为（2，0），（3，0），∵m＞0，∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，∴α＜2且β＞3；故选D．【点评】此题主要考查了利用函数图象解决一元二次方程问题，判断出y=（x﹣2）（x﹣3）的图象与方程之间的关系是解题的关键．7．如图，函数y=﹣x与函数y=﹣的图象相交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，则四边形ACBD的面积为（）A．8B．6C．4D．2【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定与性质．【分析】反比例函数y=xk图象中任取一点，向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，据此进行计算即可．【解答】解：∵过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，∴△AOC的面积=×|﹣4|=2，又∵AO=BO，∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD，∴CO=DO，∴四边形ADBC是平行四边形，∴四边形ACBD的面积=4×△AOC的面积=4×2=8，故选（A）．【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义以及平行四边形的判定与性质，在反比例函数的图象上任意一点向一条坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．8．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A．a2﹣πB．4﹣πC．πD．（4﹣π）a2【考点】轨迹；正方形的性质．【分析】这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是就是小正方形的面积与扇形的面积的差的4倍．【解答】解：小正方形的面积是：1；当圆运动