弹性与塑性力学第2-3章习题答案

第二章2.1（曾海斌）物体上某点的应力张量σij为σij=1003100031001000000（应力单位）求出：（a）面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n=（1/2，1/2，1/2）；（b）应力主轴的方位；（c）主应力的大小；（d）八面体应力的大小；（e）最大剪应力的大小。解答：(a)利用式（2.26）计算应力矢量的分量nTi，得nT1=σ1jnj=σ11n1+σ12n2+σ13n3=0;同样nT2=jnj=272.47nT3=σ3jnj=157.31所以，应力矢量nT的大小为nT[(nT1)2+(nT2)2+(nT3)2]1/2=314.62(b)(c)特征方程：σ3—I1σ2+I2σ—I3=0其中I1=σij的对角项之和、I2=σij的对角项余子式之和、I3=σij的行列式。从一个三次方程的根的特征性可证明：I1=σ1+σ2+σ3I2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1I3=σ1σ2σ3其中得，σ1=400、σ2=σ3=0是特征方程的根。将σ1、σ2和σ3分别代入（2.43），并使用恒等式n12+n22+n32=1可决定对应于主应力每个值的单位法线ni的分量（n1、n2、n3）：ni（1）=（0，±0.866，±0.5）ni（2）=（0，0.5，±0.866）ni（3）=（±1，0，0）注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。(d）由式（2.96），可算σotc=1/3（0+100+300）=133.3τotc=1/3(90000+40000+10000+6*30000)1/2=188.56(e)已经求得σ1=400、σ2=σ3=0，则有（2.91）给出的最大剪应力为τmax=2002.2（曾海斌）对于给定的应力张量σij，求出主应力以及它们相应的主方向。σij=4/114/5)22/(14/54/11)22/(1)22/(1)22/(12/3（应力单位）（a）从给定的σij和从主应力值σ1，σ2和σ3中确定应力不变量I1，I2和I3；（b）求出偏应力张量Sij；（c）确定偏应力不变量J1，J2和J3；（d）求出八面体正应力与剪应力。解答：同上题2.1（a）（b）（c）方法得到σ1=4、σ2=2、σ3=1对应于主应力每个值的单位法线ni的分量（n1、n2、n3）：ni（1）=（0，21，±21）ni（2）=（±21，0.5，0.5）ni（3）=（±21，±0.5，±0.5）（a）特征方程：σ3—I1σ2+I2σ—I3=0中I1=σij的对角项之和、I2=σij的对角项余子式之和、I3=σij的行列式。代入数据的：I1=7；I2=14；I3=8（b）偏应力张量由式子（2.119）得出Sij=σ12-pδij，其中p=7/3Sij=12/54/5)22/(14/512/5)22/(1)22/(1)22/(16/5-(c)J1=Sii=0，J2=1/6[4+1+9]=2.333,J3=1/27(2*49+9*7*14+27*8)=0.741(d)σotc=1/3*7=2.333τotc=2/3(I12-3I2)1/2=1.2472.3（李云雷）（a）解释：如果吗？能得出0S,3321SSS（b）解释：2J可以为负值吗？（c）解释：3J可以为正值吗？解：（a）不能，因为,0321SSS所以3S不能等于0.（b）因为])()()[(612132322212J，所以2J不可能为负值。（c）可以，当321,,SSS中有一个正数，两个负数时3J为正值。2.7（金晶）证明以下关系（a）221213JII证明：112321213322222112312331222212312133222221212312133212133222212312133221()()2()22211(222)3311()()331[(6IIIIIJ22222221332123121332221211)()()]()()3313JII（b）33312112327JIIII证明：11232121332312312123121332222222123121232321313322222233121123123121232321313123()()31212(3)()327327IIIIIIIII22222233312123232131312312331112132122231122333132331124()()9279131(3ijjkkiijijijjkjkjkkikikiijJsssspspsppspspspsppp同理代入得233123123222222333121232321313123123333121)()()()124()()927912327JssspppJIIII代入下式（c）122oct122=33II（）证明：2222112312331221213322222222321312121231213322222232131212122oct12()()2()3()()()22244[()()()](3)922292=33octIIIIIIII（）(d)2123213()Jssssss证明：22221122331221211222222222212311223312233122211223322113312233112321311()2211()(222)22()ijjiJsssssssssssssssssssssssssss2.9（梁健伟）证明：从一个给定的应力状态中加上静水应力，其主方向不改变。证明：设静水应力为),,(ppp，从主方向的定义有ijijnn，从给定的应力状态中减去静水应力得ijijijnpnp)()(，即：1313212111)()(npnnnp2323222121)()(npnnpn3333232131)()(npnpnn把等式右边的ipn移项到左边得1313212111nnnn2323222121nnnn3333232131nnnn所以从一个给定的应力状态中减去一个静水应力，其主方向不变。2.10（张东升）证明：通过在应力原始状态中加上静水拉力或压力，不改变作用于过某定点任何平面的剪应力分量nS。证明：关于主应力轴，任意平面上nS是用1，2，3由式2222222222112233112233()()nSnnnnnn给出。现假设静水应力状态（,,）是被叠加上去，得一组主应力123,,。对于这一新的应力状态，在任意斜截面in上的剪应力分量由下式得出：2222222222112233112233[()()()][()()()]nSnnnnnn由恒等式1iinn，将上式展开化简得2222222222112233112233()()nSnnnnnn。这表明，原结论成立。2.11（黄耀洪）画出例2.6中式（2.135）和式（2.136）中所给出的在主应力空间上的两个应力状态，并画出它们在偏平面上的投影。求(1)1003030302ij的主应力，1112233103215I22231113111223233313321223010310062093047023203I1112133212223313233100303033302I代入321230III解得1112331同理，解得(2)300070005ij的主应力132537(1)ij(2)ij在主应力空间上的两个应力状态如下图所示：求(1)1003030302ij的1、1115533Ip111156sp22352sp33154sp122221123()7.48sss22221231()282Jsss1123cos0.982sJ1arccos0.981128同理，求得(2)300070005ij的27.48、21128(1)ij(2)ij在偏平面上的投影如下图所示：2.12（李松）如果σijtjk=tijσjk,σij和tij为两点的两个应力状态，证明两个应力状态的主轴重合。注意不必将tij作为另一个应力张量——如第三章的应变张量一样，且主轴重合保持不变条件。（提示：将其中一种应力状态换到主坐标系上）证明：由题意得：σijtjk=tijσjk对i、j取1至3展开关系式得：σ11t1k+σ12t2k+σ13t3k=t11σ1k+t12σ2k+t13σ3k（1）σ21t1k+σ22t2k+σ23t3k=t21σ1k+t22σ2k+t23σ3k（2）σ31t1k+σ32t2k+σ33t3k=t31σ1k+t32σ2k+t33σ3k（3）参照σij的主轴，即i≠j时，σij=0.所以，对于（1）式K分别取2、3.由于i≠j时，σij=0.则有：K=2时，σ1t12=t12σ2；k=3时，σ1t13=t13σ3对于σ1＞σ2＞σ3，t12=0和t13=0.同理由（2）（3）式可得：t21=0和t23=0，t31=0和t32=0.一般地，i≠j时，tij=0.所以tij的主方向与σij的主方向重合2.14（卢俊坤）在偏平面上画出下列函数：（a）212kJ（b）62233225.2kJJ（c）3maxk其中，321kkk和、为常数。解：（a）依题意得：将212kJ代入22J得21k所以，在偏平面上的图像为以三轴交点为圆心，半径为21k的圆。函数图象如图a所示（利用Matlab绘制，图线与最外围的黑线圆重合，绘图时常数1k暂不考虑）。图a（b）依题意得：由2/3232333cosJJ及22J得：322233cos274JJ和222J再代入62233225.2kJJ得：26/122)3cos311(k函数图象如图b所示（利用Excel和Matlab绘制，以1为x轴，绘图时常数2k暂不考虑）。-2-1.5-1-0.500.511.52-2-1.5-1-0.500.511.52图b（c）依题意得：由3maxk得：312)3sin(2k再得：2)3sin(3k令yxyxsin,cos,22得223yx函数图象如图c所示（利用Excel和Matlab绘制，