1.3.1函数的最大值最小值

1.3.1函数的最大值、最小值问题提出1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？引例：画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：(1)(2)32)(xxf12)(2xxxf定义法和图象法（一次函数、二次函数、反比例函数）xyo1.说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2.指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？（3/2，0）（0，3）-12（-∞，+∞）↗（-∞，-1）↗（-1，+∞）↘2)12()(2xxxf2)1(2xxyo2(1)(2)32)(xxf12)(2xxxf1.指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？x无最高点最高点（-1，2）无最低点2.对函数定义域内任意自变量x，y与2的大小关系如何对函数定义域内任意自变量x，f(x)≤2212)(2的最大值是xxxfy-13.对函数定义域内任意自变量x，f(x)≤3成立吗？能不能说f(x)的最大值为3？不能！1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值12)(2xxxf例：(1）对于任意的x∈R，都有f(x)≤2;(2）存在x0=-1∈R，使得f(-1)=2212)(2的最大值是xxxf我M是“老大”我M是你们中间的max()fxM记作：2．最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值思考:设函数，则成立吗？的最大值是2吗？为什么？2()1fxx()2fx()fx你（2）不是我们中间的的最小值？例：求32)(2xxxf-131-44)(的最小值是xf.f(x),x[-4,7]例1如图为函数的图象，则它的单调增区间为_______________;最大值为_____;最小值为_____.-4-1.5-2133567[-1.5,3]和[5，6]3-2x注意：最大值、最小值是函数值y的取值，单调区间是自变量的取值范围！例2、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点(大约是在距地面高度时爆裂.如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的系式为：h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少？解:作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象(如右图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:214.71.52(4.9)4(4.9)1814.7294(4.9)th当时，函数有最大值于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29m.练习某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（万元）分别为和，其中x为销售量（辆），若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A、45.6万元B、45.606万元C、45.56万元D、45.51万元215.060.15yxx22yxA知识迁移解：设甲地销售了x辆，设该公司在这两地能获得的利润y万元.则乙地销售了15-x辆,25.060.15yxx2x2(15)x20.153.0630yxx3.0610.22(0.15)x时，y取得最大值.3.0610.22(0.15)x对称轴，2max100.15103.061030xy时，x10.210112.()1fxxxx例3求函数在[-1,1]上的最大值、最小值？2()1fxxx解：213)24x（11x由113222x得219()24x所以02313)3424x得（34-11312最大值、最小值是函数值y的取值，因此，求函数值域的方法仍然适应！21P24)f(x)=,1f(x)xRx练习：（学海导航已知函数则最大值为____,最小值为_____.12无最小值利用图象求函数的最大(小)值所以,函数在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即12xy126解：因为函数是区间[2,6]上的减函数.21yx21yx在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4.例4.求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．12xy利用函数单调性的求函数的最大(小)值例4.求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．12xy解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1x2,则)1)(1()(2)1)(1()]1()1[(21212)()(121212122121xxxxxxxxxxxfxf由于2x1x26,得x2-x10,(x1-1)(x2-1)0,于是)()(,0)()(2121xfxfxfxf即所以，函数是区间[2,6]上的减函数.12xy函数的最大(小)值的方法1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值2.利用图象求函数的最大(小)值3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；小结：