2019年上海高考数学试卷及答案

2019年上海高考数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1．函数1()2fxx的反函数为1()fx.2.若全集UR，集合{1}{|0}Axxxx，则UCA.3.设m是常数，若点F(0,5)是双曲线2219yxm的一个焦点，则m=.4.不等式13xx的解为.5.在极坐标系中，直线(2cossin)2与直线cos1的夹角大小为.（结果用反三角函数值表示）6.在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若75,60CABCBA，则A、C两点之间的距离为千米.7.若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为.8.函数sincos26yxx的最大值为.9.马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表：x123()Px！请小牛同学计算的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“”处字迹模糊，但能断定这两个“”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E=.10.行列式(,,,{1,1,2})ababcdcd所有可能的值中，最大的是.11.在正三角行ABC中，D是BC上的点.若AB=3，BD=1，则ABAD.12.随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为（默认每个月的天数相同，结果精确到）.13.设()gx是定义在R上，以1为周期的函数，若函数()()fxxgx在区间[3,4]上的值域为[2,5]，则()fx在区间[10,10]上的值域为.14.已知点O(0,0)、Q0(0,1)和点R0(3,1)，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足11||2||20OQOR，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足22||2||20OQOR.依次下去，得到12,,,,nPPP，则0lim||nnQP.二、选择题（每小题5分，满分20分）15.若,abR，且0ab，则下列不等式中，恒成立的是（）（A）222abab.（B）2abab.（C）112abab.（D）2baab.16.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)上单调递减的函数是（）（A）1ln||yx.（B）3yx.（C）||2xy.（D）cosyx.17.设12345,,,,AAAAA是平面上给定的5个不同点，则使12345MAMAMAMAMA0成立的点M的个数为（）（A）0.（B）1.（C）5.（D）10.18.设{}na是各项为正数的无穷数列，iA是边长为1,iiaa的矩形的面积（1,2,i），则{}nA为等比数列的充要条件是（）（A）{}na是等比数列.（B）1321,,,,naaa或242,,,,naaa是等比数列.（C）1321,,,,naaa和242,,,,naaa均是等比数列.（D）1321,,,,naaa和242,,,,naaa均是等比数列，且公比相同.三、解答题（本大题满分74分）19．（本大题满分12分）已知复数1z满足1(2)(1)1zii（i为虚数单位），复数2z的虚部为2，且12zz是O1D1C1B1A1CDBA实数，求2z．20.（本大题满分12分，第1小题满分4分，第二小题满分8分）已知函数()23xxfxab，其中常数,ab满足0ab（1）若0ab，判断函数()fx的单调性；（2）若0ab，求(1)()fxfx时的x的取值范围．21.（本大题满分14分，第1小题满分6分，第二小题满分8分）已知1111ABCDABCD是底面边长为1的正四棱柱，1O为11AC与11BD的交点.（1）设1AB与底面1111ABCD所成角的大小为，二面角111ABDA的大小为.求证：tan2tan；（2）若点C到平面AB1D1的距离为43，求正四棱柱1111ABCDABCD的高.22.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列{}na和{}nb的通项公式分别为36nan，27nbn（*)nN.将集合{,*}{,*}nnxxanNxxbnN中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,ncccc（1）写出1234,,,cccc；（2）求证：在数列{}nc中，但不在数列{}nb中的项恰为242,,,,naaa；（3）求数列{}nc的通项公式.23.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分）已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作(,)dPl（1）求点(1,1)P到线段:30(35)lxyx的距离(,)dPl；（2）设l是长为2的线段，求点的集合{(,)1}DPdPl所表示的图形面积；（3）写出到两条线段12,ll距离相等的点的集合12{(,)(,)}PdPldPl，其中12,lABlCD，,,,ABCD是下列三组点中的一组.对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分.①(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)ABCD.②(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)ABCD.③(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)ABCD.2019年上海高考数学试题（理科）答案一、填空题1、12x；2、{|01}xx；3、16；4、0x或12x；5、25arccos5；6、6；7、33；8、234；9、2；10、6；11、152；12、0.985；13、[15,11]；14、3。二、选择题15、D；16、A；17、B；18、D。三、解答题19、解：1(2)(1)1zii12zi………………（4分）设22,zaiaR，则12(2)(2)(22)(4)zziaiaai，………………（12分）∵12zzR，∴242zi………………（12分）20、解：⑴当0,0ab时，任意1212,,xxRxx，则121212()()(22)(33)xxxxfxfxab∵121222,0(22)0xxxxaa，121233,0(33)0xxxxbb，∴12()()0fxfx，函数()fx在R上是增函数。当0,0ab时，同理，函数()fx在R上是减函数。⑵(1)()2230xxfxfxab当0,0ab时，3()22xab，则1.5log()2axb；当0,0ab时，3()22xab，则1.5log()2axb。21、解：设正四棱柱的高为h。⑴连1AO，1AA底面1111ABCD于1A，∴1AB与底面1111ABCD所成的角为11ABA，即11ABA∵11ABAD，1O为11BD中点，∴111AOBD，又1111AOBD，∴11AOA是二面角111ABDA的平面角，即11AOA∴111tanAAhAB，111tan22tanAAhAO。⑵建立如图空间直角坐标系，有11(0,0,),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,)AhBDCh11(1,0,),(0,1,),(1,1,0)ABhADhAC设平面11ABD的一个法向量为(,,)nxyz，∵111100nABnABnADnAD，取1z得(,,1)nhh∴点C到平面11ABD的距离为22||043||1nAChhdnhh，则2h。22、⑴12349,11,12,13cccc；⑵①任意*nN，设213(21)66327nkannbk，则32kn，即2132nnab②假设26627nkanbk*132knN（矛盾），∴2{}nnabA1B1C1D1ABCDO1zyxA1B1C1D1ABCDO1∴在数列{}nc中、但不在数列{}nb中的项恰为242,,,,naaa。⑶32212(32)763kkbkka，3165kbk，266kak，367kbk∵63656667kkkk∴当1k时，依次有111222334,,,bacbcacbc，……∴*63(43)65(42),66(41)67(4)nknkknkckNknkknk。23、解：⑴设(,3)Qxx是线段:30(35)lxyx上一点，则22259||(1)(4)2()(35)22PQxxxx，当3x时，min(,)||5dPlPQ。⑵设线段l的端点分别为,AB，以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则(1,0),(1,0)AB，点集D由如下曲线围成12:1(||1),:1(||1)lyxlyx，222212:(1)1(1),:(1)1(1)CxyxCxyx其面积为4S。⑶①选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)ABCD，{(,)|0}xyx②选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)ABCD。2{(,)|0,0}{(,)|4,20}{(,)|10,1}xyxyxyyxyxyxyx③选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)ABCD。{(,)|0,0}{(,)|,01}xyxyxyyxx2{(,)|21,12}{(,)|4230,2}xyxyxxyxyx1-1-11yxOBADB=CA122.5yx-2xy-113ABCDOODCBA31-1yx