函数的连续性(1-32)

§2.3函数的连续性10函数连续的概念X0xy0Ay=f(x)(1)f(x)在x0处无定义Ay=f(x)xy0(2)X0f(x)在x0处有定义X0y=f(x)xy0(3)f(x)在x0处出现跳跃(4)xy0X0y=f(x)f(x)在x0附近无界(5)xy0X0y=f(x)f(x0)f(x)在x0处连续图(1)---(4)在x0处曲线出现间断;图(5)曲线在x0处连续.图形(5)的特征：f(x0)f(x)在x0处连续xy0x0y=f(x)(5)f(x)x,xxfxf)()()(0其中即,xxx00)(lim)()(lim00xfxfxx定义：设在某邻域上有定义,如果)(xf),(rxN0)()(lim00xfxfxx则称在x0处连续)(xff(x)在x0处连续的语言描述：)(xf有时使当存在给的xx,,,000设在某邻域内有定义,如果对任)(0xN.)()(0xfxff(x)在x0处连续的三要素：)(xf（1）在某邻域内有定义；)(0xN)(limxfxx0（2）存在(设为A);(3).)(Axf0f(x)在x0处左连续：)()(lim)(0000xfxfxfxxf(x)在x0处右连续：)()(lim)(0000xfxfxfxxf(x)在(a,b)内连续：若f(x)在(a,b)内每一点处都连续(称f(x)为(a,b)内的连续函数)f(x)在[a,b]上连续：若f(x)在(a,b)内连续,在x=a处右连续,在x=b出左连续,则称f(x)在[a,b]上连续(称为[a,b]上的连续函数)00xxfxxf在函数处连续在函数)()(定理)()()(00000xfxfxf即有处既左连续又右连续,20连续函数的运算性质定理(连续函数的四则运算性质)设f(x),g(x)在点x0处连续,则(1)f(x)±g(x)在点x0处也连续;(2)f(x)g(x)在点x0处也连续;(3)若在点x0处也连续;)()()(xgxf,xg00连续函数经四则运算后,在其定义域上连续基本初等函数的连续性(1)基本三角函数在定义域上连续,sinsinlimxxxx00,coscoslimxxxx00由可知：sinx，cosx在其定义域上连续再根据连续函数的四则运算性质知：tanx，cotx，secx，cscx在其定义域上连续所以,基本三角函数在定义域上连续证明对任意的x0R,xxxxxaxf00lim)(lim)(lim000xxxxxaaa)()])([lim0000001xfaaaaxxxxxxx证明对任意的x00,利用结论00limlnlnxxxx(2)指数函数f(x)=ax(a0,a≠1)在其定义域上连续(3)对数函数f(x)=logax(a0,a≠1)在其定义域上连续xxfaxxxxloglim)(lim00axxxlnlnlim0000lnlog()lnaxxfxa(4)幂函数f(x)=xµ(µ≠0)在其定义域上连续证明对任意的x00,xxfxxxx00lim)(limxxxelnlim0xtlntxte0lnlim0xeln)(00xfx定理(反函数的连续性)设y=f(x)在[a,b]上连续,并且严格单调增(或严格单调减),f(a)=α,在(或)f(b)=β,则反函数)(yfx1][,][,上连续,并且也是严格单调增加(或严格单调减少).证明略(5)反三角函数在其定义域上连续从而有以下结论：基本初等函数在定义域上是连续的定理(复合函数的极限)若,uxgxx00)(limf(u)在u0处连续,则有,ufufxgfuuxx)()(lim))((lim000即))(lim())((limxgfxgfxxxx00说明：当函数f连续时,极限符号与函数符号f可以交换次序证明,0故存在有时使当,uu0)()(0ufuf对任意的因为y=f(u)在u0处连续,,0,uxgxx00)(lim又,0故对上,0存在有时使当,xx00,uxg0)())((,xguxx就有时所以当00,uxguu00)(从而得,ufufufxgf)()()())((00定理证毕推论设u=g(x)在x0处连续,u0=g(x0),y=f(u)在u0处连续,则复合函数y=f(g(x))在点x0处连续,即xgfxgfxgfxxxx))(())(lim())((lim000可知：两个(有限个)连续函数构成的复合函数在一定的区间内也是连续函数定理一切初等函数在其定义区间内都是连续的例如;]()arcsin(上连续在,yx02;)(上连续在,xy1230函数的间断点及其分类如果f(x)在x0处不连续,则称点x0为函数f(x)的间断点(或不连续点).f(x)在x0处连续的三要素：)(limxfxx0（2）存在(设为A);(3)Axf)(0（1）f(x)在某邻域内有定义；)(0xNX0xy0Ay=f(x)(1)f(x)在x0处无定义X0y=f(x)xy0(3)f(x)在x0处出现跳跃(4)xy0X0y=f(x)f(x)在x0附近无界xy1sinf(x)在x=0附近无限震荡(5)Ay=f(x)xy0(2)X0f(x)在x0处有定义间断点的分类：1、第一类间断点：2、第二类间断点：(2)若,又称x0为函数f(x)的)()(0000xfxf可去间断点（1）若,又称x0为函数f(x)的)()(0000xfxf跳跃间断点的为函数间断点则称右极限都存在处左、在间断点如果)(,)(xfxxxf00第一类间断点的为函数则称间断点至少有一不存在右极限处，其左、在间断点如果)(,)(xfxxxf00第二类间断点说明：00xx,Axx,xfxF)()(则可构造，的可去间断点为函数如果xfx)(0函数：所以，F(x)在x0处连续由于此时有)(lim)(limxfxFxxxx00)(0xFA例讨论下列函数的连续性：xxfexfxxxfx13211arctan)()(;)()(;sin)()(解(1)当x≠0时,x属于初等函数xxxfsin)(的定义区间,于是f(x)在x处连续当x=0时,f(x)无定义,可知x=0是间断点由于xxxfxx100sinlim)(lim所以,x=0是可去间断点(2)当x≠0时,x属于初等函数的定义区exfx1)(间，可知x≠0是函数f(x)的连续点当x=0时,f(x)无定义,可知x=0是间断点由于不存在）(lim)(lim)(exffxxx10000所以,x=0是函数的第二类间断点.exfx1)((3)当x≠0时,x属于初等函数xxf1arctan)(的定义区间,于是f(x)在x处连续当x=0时,f(x)无定义,可知x=0是间断点因为;arctanlim)(lim)(xxffxx210000;arctanlim)(lim)(xxffxx210000所以,x=0是函数的跳跃间断点xxf1arctan)(例讨论函数的连续性0120212x,xxx,xxxxfcossin)()(解在分段点x=0处,f20)(xxxxffxx210000sin)(lim)(lim)()()(lim02210fxxxx1200200xxxffxxcoslim)(lim)()(02f当x0时,f(x)在x=2n处无定义,可知x=2n是间断点于是f(x)在x=0处连续又因xxxxfnfnxnx210222sin)(lim)(lim)(所以,x=2n是f(x)的第二类间断点,而在其余的x0的点处f(x)连续当x0时,f(x)在x=-1处无定义,可知x=-1是f(x)间断点.又1201211xxxffxxcoslim)(lim)(不存在,所以,x=-1是f(x)的第二类间断点而在其余的x0的点处f(x)连续40闭区间上连续函数的性质定理(基本原理)若f(x)C[a,b],则f([a,b])=[m,M]其中C[a,b]表示[a,b]上连续函数的全体注意：定理中的两个重要条件：闭区间；连续性不可少，否则结论未必成立定理(最值定理)若f(x)C[a,b],则f(x)必能在[a,b]上取得最大值M,最小值m,即存在两数.Mfmfba,)(,)(],[2121使证明由基本原理知：f([a,b])=[m,M].Mfmfba,)(,)(],[2121使存在又因对任意x[a,b]有m≤f(x)≤M所以,f(x)在处取得最小值,在处取得最大值12注意：定理中的两个重要条件：闭区间；连续性不可少，否则结论未必成立.违反闭区间条件反例：)()(112,x,xxf违反连续性条件反例：x,,x,xxf00101]()(定理（有界定理）若f(x)C[a,b],则f(x)在[a,b]上有界证明由基本原理知：对任意x[a,b]有m≤f(x)≤M所以f(x)在[a,b]上有界注意：定理中的两个重要条件：闭区间；连续性一般不可减弱，否则结论未必成立定理(介值定理)若f(x)C[a,b],则对任意介于f(a),f(b)之间的值c,存在使][b,acf)(证明如果f(a)=f(b)=c,则可取ba或下设f(a)≠f(b),不妨设f(a)f(b),则对则据基本原理知m≤c≤M，cfba)(],[使存在注意：此定理的条件一般不可减弱x,,x,xxf00101]()(反例：xy0ξy=f(x)f(a)f(b)cab几何意义：任意f(a)cf(b),定理(零值定理)若f(x)C[a,b],f(a)f(b)0,则存在,b,a)(使0)(f证明因为f(a)与f(b)异号,则f(a)0f(b)或f(b)0f(a)取c=0,利用介值定理知,存在使b,a)(0)(f几何意义：ξxy0y=f(x)ab例证明：方程在(1,2)中有实根0133xx证明设,xxxf133)(则f(x)C[1,2].又f(1)=-1,f(2)=3,根据零值定理,存在,,)(21使,f0)(即方程在(1,2)中有实根0133xx例证明因为0)()(ff如果f(x)在[a,b]上连续,且f(a)a,f(b)b,证明：在(a,b)内至少存在一点ξ,使)(f(转化为零点问题)令F(x)=f(x)-x,此时F(x)C[a,b],且有00bbfbF,aafaF)()()()(根据零值定理,存在使,b,a)(,F0)(即)(f例求证方程)(,xaxaxa3213322110在及中有根,其中是正数),(21),(32aaa321,,证明当时,321,,xxaxaxa0332211)))()(((xxx321两边同乘xxaxxaxxa0213312321))(())(())((构造辅助函数xxaxxaxxaxF))(())(())(()(213312321此时F(x)在R上连续,而且0312111))(()(aFaF0321222))(()(aF0231333))(()(根据零值定理,存在使,,,),()(3222110021)()(F,F即,aaa0313212111,aaa0323222121