无穷小量的比较

第五节无穷小量的比较A.无穷小量的阶：高阶、低阶、同阶(等价)、k阶无穷小B.利用等价无穷小量计算极限0x23,,sinxxx都是无穷小,xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但引例：当xxxsinlim0,1A.无穷小量的阶时，用“比”来比较它们趋于零的速度快慢它们趋于零的速度不同：lim0,lim0,设0lim0,(1)若()o(2)若记作则称是比高阶的无穷小,或是比低阶的无穷小,lim0,b则称与是同阶无穷小;lim1,记作则称与是等价无穷小,则称是关于的k阶无穷小;(2’)若lim0,0kbk(3)若定义sinxx021coslim12xxx故时,与x等价无穷小0sinlimxxx1,0x202sin2limxx222x1故当时是关于x的二阶无穷小,211cos2xx且例如当26ox0x时3xtanxxarcsinxx例1.证明:当时,～证:～nnba)(ba1(naban2)1nb定理lim=lim则limlim则lim注意:相乘、相除可以替换，相加、相减不可替换B.利用等价无穷小量计算极限若若，且存在定理limlimlimlimlimlim=证：211cos2xx常用的等价无穷小～0x0x0x0x,0时当x11xx0x1n当时1xex1lnxaxa0x0x例2.求解:xxxx3sinlim30～～201lim3xx13例如,xxx5sin2tanlim0xxx52lim052例3解.2~2tan,21~cos1,02xxxxx时当22021)2(limxxx原式.820tan2lim.1cosxxx求例4解)1ln(lim1lim00uuxeuxx.1lim0xexx求,1uex令),1ln(ux即,0,0ux有时则当uuu10)1ln(1limuuu10)1ln(lim1eln1.101~.xxex当时，例50(1)1lim.xxx求解00(1)1(1)1lim.limln(1)xxxxxx(1)1,xy令ln(1)ln(1),xy于是0,0,xy有0limln(1)yyy.11xx0limln(1)yyy0limyyy1n特别地,当时,有111nxxn～～例6.求.1cos1)1(lim3120xxx解:201ln(1)1lim.(1)arcsinxxxxex例7.求解:原式=120ln(1)lim2arcsinxxxxx21220lim2xxx.sintanlim30xxxx30limxxxx原式32210limxxxx例8.求解:原式不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于函数中进行加减运算的无穷小不能分别代换.注意30tansinlim.sin(2)xxxx21230lim8xxxx例9.求解:原式END内容小结1、无穷小阶的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2、利用等价无穷小计算极限(注意适用条件)高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.xcos1221x～常用的等价无穷小：,0时当x～1,xex11,xx例.当时,比较无穷小与的阶.解:因21lnlim(1)xxx21ln[1(1)]lim(1)xxx,0时xln(1),xx～211lim(1)xxx11lim1xx是比更低阶的无穷小.故