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江西省赣州市章贡区2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.抛物线𝑦=3(𝑥−5)2的顶点坐标是()A.(5,0)B.(3,5)C.(3,5)D.(−5,0)2.下列几种汽车标志图案是中心对称图形的是()A.B.C.D.3.关于x的一元二次方程𝑥2+3𝑥−1=0的根的情况()A.无实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定4.如图，△𝐴𝐵𝐶绕点B顺时针旋转到△𝐸𝐵𝐷位置，若∠𝐴=30°，∠𝐷=15°，A、B、D在同一直线上，则旋转的角度是()A.50°B.45°C.40°D.30°5.如图，AD是⊙𝑂的直径，𝐴𝐵⏜=𝐶𝐷⏜，若∠𝐴𝑂𝐵=40°，则圆周角∠𝐵𝑃𝐶的度数是()A.40°B.50°C.60°D.70°6.如图，二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象过点(−1,0)和点(3,0)，则下列说法正确的是()A.𝑏𝑐0B.𝑎+𝑏+𝑐0C.2𝑎+𝑏=0D.4𝑎𝑐𝑏2二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.已知𝑥=−1是一元二次方程𝑎𝑥2−𝑏𝑥+6=0的一个根，则𝑎+𝑏的值为______8.点𝐴(𝑎+1,3)与点𝐵(−4,1−𝑏)关于原点对称，则𝑎+𝑏=______．9.如图，平面直角坐标系中，⊙𝐴的圆心在x轴上，坐标为(𝑎,0)，半径为1，直线l为𝑦=2𝑥−2，若⊙𝐴沿x轴向右运动，当⊙𝐴与直线l有公共点时，点A横坐标a的取值范围是______．10.如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2与直线𝑦=𝑏𝑥+𝑐的两个交点坐标分别为𝐴(−2,4)，𝐵(1,1)，则方程𝑎𝑥2=𝑏𝑥+𝑐的解是______．11.如图，AB是半圆O的直径，𝑂𝐷⊥𝐴𝐶，𝑂𝐷=2，则弦BC的长为______．12.如图，已知⊙𝑃的半径为2，圆心P在抛物线𝑦=12𝑥2−1上运动，当⊙𝑃与x轴相切时，圆心P的坐标为______．三、计算题（本大题共2小题，共11.0分）13.𝑥(2𝑥−5)+4(5−2𝑥)=014.如图，在⊙𝑂中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐷𝐴𝐵，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙𝑂于点G，连接EG．(1)求证：DF是⊙𝑂的切线；(2)若𝐴𝐷=𝐷𝑃，𝑂𝐵=3，求𝐵𝐷⏜的长度；(3)若𝐷𝐸=4，𝐴𝐸=8，求线段EG的长．四、解答题（本大题共10小题，共73.0分）15.已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，将△𝐴𝐵𝐶绕点B按逆时针方向旋转53°得到△𝐵𝐷𝐸，点C在边BD上．求：∠𝐷的度数．16.在⊙𝑂中，AB是直径，AC是切线且𝐴𝐶=𝐴𝐵，联结BC交⊙𝑂于点D，试仅用无刻度直尺，作以D为切点的⊙𝑂的切线DT．17.如图，已知二次函数图象与x轴交于点𝐴(−1,0)，𝐵(3𝑚,0)，交y轴于点𝐶(0,3𝑚)(𝑚0)．(1)当𝑚=2时，求抛物线的表达式及对称轴．(2)过OB中点M作x轴垂线交抛物线于点D过点D作𝐷𝐹//𝑥轴，交抛物线于点E，交直线BC于点F，当EFED=54时，求m的值．18.我区儿童公园北门处有一座石拱桥，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，拱桥半径OC为5m，求水面宽AB为多少米？19.如图将一块含30°角的三角板ADC绕A点顺时针旋转60°得到△𝐴𝐸𝐵，已知𝐴𝐶=2，连接ED，BD，求∠𝐵𝐴𝐷的度数及ED的长．20.已知一元二次方程𝑥2−4𝑥+𝑘=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)如果一元二次方程𝑥2−4𝑥+𝑘=0有一个根是3，求另一个根和k的值．21.某商场销售一种成本为每件30元的商品，销售过程中发现，每月销售量𝑦(件)与销售单价𝑥(元)之间的关系可近似看作一次函数𝑦=−10𝑥+600，商场销售该商品每月获得利润为𝑤(元)．(1)求w与x之间的函数关系式；(2)如果商场销售该商品每月想要获得2000元的利润，那么每月成本至少多少元？(3)若销售价不低于40元且不高于55元，请直接写出每月销售新产品的利润w的取值范围．22.某商店销售一批保暖衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，商场采取适当的降价措施，经调查发现，在一定的范围内，保暖衬衫的单价每降10元，商店平均每天可多售出20件．如果商店通过销售这批保暖衬衫每天要盈利1200元，保暖衬衫的单价应降价多少元？23.问题发现：如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=60°，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：(1)①∠𝐴𝐶𝐸的度数是____；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是____．拓展探究：(2)如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠𝐴𝐶𝐸的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；解决问题：(3)如图3，在𝑅𝑡△𝐷𝐵𝐶中，𝐷𝐵=3，𝐷𝐶=5，∠𝐵𝐷𝐶=90°，若点A满足𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°，请直接写出线段AD的长度．24.已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为𝐴(1,0)，𝐶(−3,0)，(1)若已知顶点坐标D为(−1,4)或B点(0,3)，选择适当方式求抛物线的解析式．(2)若直线DH为抛物线的对称轴，在(1)的基础上，求线段DK的长度，并求△𝐷𝐵𝐶的面积．(3)将图(2)中的对称轴向左移动，交x轴于点𝑝(𝑚,0)(−3𝑚−1)，与线段BC、抛物线的交点分别为点K、Q，用含m的代数式表示QK的长度，并求出当m为何值时，△𝐵𝐶𝑄的面积最大？--------答案与解析--------1.答案：A解析：解：抛物线𝑦=3(𝑥−5)2的顶点坐标是(5,0)．故选A．根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．本题考查了二次函数的性质，主要是根据顶点式解析式写出顶点坐标的方法的考查，需熟记．2.答案：A解析：本题考查的是中心对称图形的概念，判断中心对称图形时先要寻找对称中心，再看旋转180度后两部分是否重合．根据中心对称图形的概念判断即可．解：A中图形是中心对称图形，B、C、D中图形不是中心对称图形，故选：A．3.答案：C解析：解：𝑥2+3𝑥−1=0，△=32−4×1×(−1)=130，所以一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：C．先根据根的判别式求出△的值，再判断即可．本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．4.答案：B解析：本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，根据旋转的性质可知∠𝐴=∠𝐸，∠𝐶=∠𝐷，∠𝐶𝐵𝐷等于旋转角，然后利用三角形外角性质计算出∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐴+∠𝐶=45°，从而得到旋转角的度数为45°．解：∵△𝐴𝐵𝐶绕点B顺时针旋转到△𝐸𝐵𝐷位置，∴∠𝐴=∠𝐸，∠𝐶=∠𝐷，∠𝐶𝐵𝐷等于旋转角，∵∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐴+∠𝐶=30°+15°=45°，∴旋转角的度数为45°．故选：B．5.答案：B解析：本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理即可求出答案．解：∵𝐴𝐵⏜=𝐶𝐷⏜，∠𝐴𝑂𝐵=40°，∴∠𝐶𝑂𝐷=∠𝐴𝑂𝐵=40°，∵∠𝐴𝑂𝐵+∠𝐵𝑂𝐶+∠𝐶𝑂𝐷=180°，∴∠𝐵𝑂𝐶=100°，∴∠𝐵𝑃𝐶=12∠𝐵𝑂𝐶=50°，故选B．6.答案：C解析：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当𝑎0时，抛物线向上开口；当𝑎0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时(即𝑎𝑏0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即𝑎𝑏0)，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点个数：抛物线与y轴交于(0,𝑐).抛物线与x轴交点个数由△决定：△=𝑏2−4𝑎𝑐0时，抛物线与x轴有2个交点；△=𝑏2−4𝑎𝑐=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=𝑏2−4𝑎𝑐0时，抛物线与x轴没有交点．利用抛物线开口方向得到𝑎0，利用对称轴在y轴的右侧得到𝑏0，利用抛物线与x轴的交点在x轴下方得到𝑐0，则可对A进行判断；利用当𝑥=1时，𝑦0可对B进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线𝑥=−𝑏2𝑎=1，则可对C进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对D进行判断．解：∵抛物线开口向上，∴𝑎0，∵对称轴在y轴的右侧，∴𝑎和b异号，∴𝑏0，∵抛物线与x轴的交点在x轴下方，∴𝑐0，∴𝑏𝑐0，所以A选项错误；∵当𝑥=1时，𝑦0，∴𝑎+𝑏+𝑐0，所以B选项错误；∵抛物线经过点(−1,0)和点(3,0)，∴抛物线的对称轴为直线𝑥=1，即−𝑏2𝑎=1，∴2𝑎+𝑏=0，所以C选项正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=𝑏2−4𝑎𝑐0，即4𝑎𝑐𝑏2，所以D选项错误．故选C．7.答案：−6解析：解：把𝑥=−1代入方程𝑎𝑥2−𝑏𝑥+6=0得𝑎+𝑏+6=0，所以𝑎+𝑏=−6．故答案为−6．直接把𝑥=−1代入方程𝑎𝑥2−𝑏𝑥+6=0中即可得到𝑎+𝑏的值．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．8.答案：7解析：解：∵点𝐴(𝑎+1,3)与点𝐵(−4,1−𝑏)关于原点对称，∴𝑎+1=4，1−𝑏=−3，解得：𝑎=3，𝑏=4，故𝑎+𝑏=7．故答案为：7．直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．9.答案：1−√52≤𝑎≤1+√52解析：解：如图：当⊙𝐴在直线l的左侧，⊙𝐴与直线l相切时，𝑂𝐶⊥𝐵𝐷，△𝐵𝑂𝐷∽△𝐵𝐶𝐴，∵直线l为𝑦=2𝑥−2，∴𝐵(1,0)，𝐷(0,−2)，∴𝑂𝐵=1，𝑂𝐷=2，∴𝐵𝐶𝐵𝑂=𝐴𝐶𝑂𝐷，即𝐵𝐶1=12，∴𝐵𝐶=12，∴𝐴𝐵=√𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=√52，当⊙𝐴在直线l的右侧，⊙𝐴与直线l相切时，同理𝐴′𝐵=√52，∴𝐴横坐标a的取值范围是1−√52≤𝑎≤1+√52，故答案为：1−√52≤𝑎≤1+√52．根据⊙𝐴与l有公共点从左相切开始，到相交，到右相切，所以点A移动的距离是左相切到右相切时的距离．此题主要考查了坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系．10.答案：𝑥1=−2，𝑥2=1解析：解：∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2与直线𝑦=𝑏𝑥+𝑐的两个交点坐标分别为𝐴(−2,4)，𝐵(1,1)，∴方程组{𝑦=𝑎𝑥2𝑦=𝑏𝑥+𝑐的解为{𝑥1=−2𝑦1=4，{𝑥2=1𝑦2=1，即关于x的方程𝑎𝑥2−𝑏𝑥−𝑐=0的解为𝑥1=−2，𝑥2=1．所以方程𝑎𝑥2=𝑏𝑥+𝑐的解是𝑥1=−2，𝑥2=1故答案为𝑥1=−2，𝑥2=1．根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组{𝑦=𝑎𝑥2𝑦=𝑏𝑥+𝑐的解为{𝑥1=−2𝑦1=4，{𝑥2=1𝑦2=1，于是易得关于x的方程𝑎𝑥2−𝑏𝑥−𝑐=0的解．本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．11.答案：4解析：