微积分基础知识

绪论1课程名称微积分上计划学时80考核形式考试（５学分）课堂纪律作业问题课前预习、重点听讲、简记笔记、整理咀嚼、后作练习2参考书目＜微积分学习指导＞＜高等数学＞同济大学数学系编（高等教育出版社）31.基础:函数,极限,连续2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程主要内容多元微积分高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：概念更复杂理论性更强表达形式更加抽象推理更加严谨4因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要培养抽象思维和逻辑推理的能力。学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学好了数学。56极限方法1）计算圆的周长nnrSnsin2,5,4,3n3S5S4S圆内接正n边形Ornsinlim2sinlim22nnnSnrrrnn7T0xxoxy)(xfyCNM.)()(limtan000xxxfxfkxx2）切线的斜率8abxyo3)计算曲边梯形面积)(xfy曲边梯形面积为iniixfA)(lim109111242n4)无穷级数111lim242nn11(1)22lim1112nn10一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的对象的全体.组成集合的事物称为该集合的元素.},,,{21naaaA})({xPxMP（x）表示元素具有性质,Ma,Ma第0章基本知识112.邻域:.0,且是两个实数与设a).,a(U记作,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径xaaa,邻域的去心的点a.}ax0x{),a(U,})({邻域的称为点数集aaxx1.定义设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，若对于x∈D，变量y按照确定的法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数记作)(xfy自变量因变量.)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfDx.}),({称为函数的值域函数值全体组成的数集DxxfyyW二、函数12函数的两要素:定义域与对应法则.()D0xx自变量()W)(0xfy对应法则f因变量约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.21xy例如，]1,1[:D211xy例如，)1,1(:D1314(1)符号函数010001sgnxxxxy当当当几个特殊的函数举例1-1xyoxxxsgn15(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线x16是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数17(4)取最值函数)}(),(max{xgxfy)}(),(min{xgxfyyxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.18三.函数的几种特性设函数,,)(Dxxfy(1)有界性,Dx,,AB使()BfxA称)(xfA为上界，B为下界。(2)单调性为有界函数.当,,21Ixx21xx时,,)()(21xfxf若称)(xf为I上的单调增函数;xy1x2x,)()(21xfxf若称)(xf为I上的单调减函数.19xyoxx(3)奇偶性,Dx且有,Dx若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.说明:若)(xf在x=0有定义,.0)0(f)(xf为奇函数时,则当必有例如,2)(xxeexfyxch偶函数xyoxexexych双曲余弦记20例1判断函数的奇偶性.)1ln()(2xxxfy解：))(1ln()(2xxxf)()1ln(2xfxx∴f(x)是奇函数.例2设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。证明：设显然g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而)()()(),()()(xfxfxhxfxfxg2)()()(xhxgxf故命题的证.21(4)周期性,0,lDx且,Dlx则称)(xf为周期函数,xo2y2若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数Cxf)(狄里克雷函数x为有理数x为无理数,1,0四.反函数若函数为单射,则存在逆映射称此映射1f为f的反函数.xyDW)(xfy函数oxyDW1()xfy反函数o22习惯上,Dxxfy,)(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy)(xfy直接函数xyo),(abQ),(baP图形关于直线对称.单调性一致2324例如,),(,xeyx对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数25例1证明若函数y=f(x)是奇函数且存在反函数x=f1(y),则反函数也是奇函数。证明：).())(())(()(1111yfxxffxffyf∴反函数是奇函数。例2.0101)(2的反函数求xxxxxf解:当x0时,y1,1122yxxy当x0时,y1,x=y-1,.1,11,1,2xxxxy得反函数综上初等（显）函数y=f(x)隐函数F(x,y)=0参量函数分段函数单值函数多值函数五.初等函数26基本初等函数1.幂函数)(是常数xyoxy2xyxyxy11)1,1(xy1272.指数函数)1,0(aaayxxeyxayxay)1()1(a)1,0(283.对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(294.三角函数正弦函数xysinxysin余弦函数xycosxycos30正切函数xytanxytan余切函数xycotxycot31正割函数xysecxysec余割函数xycscxycsc325.反三角函数xyarcsin反正弦函数xyarcsinxyarccos反余弦函数xyarccos335.反三角函数xyarcsin反正弦函数xyarcsinxyarccos反余弦函数xyarccos34xyarctan反正切函数xyarctanxycot反余切函数arcxycotarc3536复合函数,自变量x,中间变量u,因变量yy=f(u)称为外函数，u=(x)称为内函数设函数)(ufy的定义域fD,而函数)(xu的值域为Z,若ZDf,则称函数)]([xfy为x的复合函数.定义37注:2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2cotxy例如,uy,cotvu.2xv1.复合函数,uy设,12xu21xy代入法22,arcsinxuuy不能构成复合函数.3.并不是任意两个函数都可以进行复合运算38初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数例如,,2xyy0,xx0,xx可表为故为初等函数.由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.否则称为非初等函数.39例：不是初等函数为初等函数1sin2xeyx1xxy00xx不是初等函数nnxaxaay10为初等函数nnxaxaay1040双曲函数2eeshxxx双曲正弦chxyshxy),,(:D奇函数.2eechxxx双曲余弦),,(:D偶函数.双曲函数xey21xey2141xxxxeeeexcoshxsinhthx双曲正切奇函数,),(:D有界函数,42六数列的极限(P6):limnnxa.nnxa当无限变大时，能无限接近唯一确定的常数:数列极限的-N定义0,lim.nnnNnNxaxa0,当时，恒有43x1x2x2Nx1Nx3x几何解释:2aaa,[,],().nnNxaaN当时所有的点都落在内只有有限个至多只有个落在其外44.)1(11nxnn.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn45(),.nnxxfnnZ数列可看成一个特殊的函数，如:唯一性,有界性,局部保号性,夹挤规则（两边夹）lim,lim,(1)lim[];(2)lim[.];lim(3)lim,0.nnnnnnnnnnnnnnnaAbBabABabABkakAaABbB性质：设则其中4623ba22abnabax证:用反证法.及且.ba取因,limaxnn故存在N1,从而2banx同理,因,limbxnn故存在N2,使当nN2时,有2banx收敛数列的极限唯一.使当nN1时,假设22abnabbxnbax223ab从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当nN时,,,max21NNN取故假设不真!nx满足的不等式47azynnnnlimlim)2(两边夹准则),2,1()1(nzxynnnaxnnlim证:由条件(2),,0,1N当时,当时,令,,max21NNN则当Nn时,有由条件(1)nnnzxyaa即,axn故.limaxnn,2N48lim1(0)nnaa证明(P7)49例.证明数列是发散的.证:用反证法.假设数列nx收敛,则有唯一极限a存在.取,21则存在N,2121axan但因nx交替取值1与－1,),(2121aa内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当nN时,有因此该数列发散.50例(P10)证明若X2k-1→a,X2k→a(k→∞),则数列{Xn}收敛于a。证：对任ε0,ヨK1,当kK1时X2k落在[a-ε,a+ε]即满足|Ｘ2k-a|≤ε…(1)ヨK2当kK2时X2k-1落在[a-ε,a+ε]即满足|Ｘ2k-1-a|≤ε…(2)取N=max{2K1,2K2-1},当nN,必有Xn落在[a-ε,a+ε]即满足|Ｘn-a|≤ε51例).12111(lim222nnnnn求解,11112222nnnnnnnnnnnnnn111limlim2又,122111lim1limnnnnn,1由夹逼定理得.1)12111(lim222nnnnn5212,12,1)2()1(1knnknxnxnnn例讨论下列极限：（1）(3）设x1=1,xn+1=1+2xn(n=1,2…)讨论limnnx111111(4)lim()limlimlim0nnnnnnnnnn(5)若等比级数limnnxa11limlim1limnnnnnnnxxaxxa1