强收敛、弱收敛和一致收敛

泛函分析小论文论文题目：赋范线性空间中的强收敛、弱收敛和一致收敛专业:数学科学学院年级:12级姓名:乌日罕学号:20122103126任课教师：韩刚赋范线性空间中的强收敛、弱收敛和一致收敛摘要：对赋范线性空间中的强收敛、弱收敛和一致收敛进行初步的认识。首先引进了强收敛、弱收敛和一致收敛的定义、概念，其次讨论了一些相关的例题，最后，给出并证明了定理（强收敛充要条件）。关键词：强收敛；弱收敛；一致收敛；赋范线性空间一、有关定义、相关的例题及其解析定义1设𝑋是赋范线性空间，𝑥𝑛∈𝑋，𝑛=1,2,…，如果∃𝑥∈𝑋，s.t.‖𝑥𝑛−𝑥‖→0(𝑛→∞)，则称点列{𝑥𝑛}强收敛于𝑥，如果对∀𝑓∈𝑋′，都有𝑓(𝑥𝑛)→𝑓(𝑥)(𝑛→∞)，则称点列{𝑥𝑛}弱收敛于𝑥，记为𝑥𝑛弱→𝑥(𝑛→∞).※在此注意的是，𝑥𝑛→𝑥(𝑛→∞)⇒𝑥𝑛弱→𝑥，反之不然。显然强收敛必定弱收敛，但弱收敛不一定强收敛。例1（弱收敛≠强收敛）设𝑋=𝑙2，𝑒𝑛=(0,0，…，0,1,0，…)，𝑛=1,2，…，则‖𝑒𝑛‖=1，故{𝑒𝑛}不强收敛于0.下证{𝑒𝑛}弱收敛于0，对∀𝑓∈(𝑙2)∗=𝑙2，即𝑓=(𝜂1，𝜂2，…)∈𝑙2⇔∑|𝜂𝑖|2∞𝑖=1+∞.𝑓(𝑒𝑛)=𝜂𝑛→0(𝑛→∞)(∴|𝑓(𝑒𝑛)−0|→0(𝑛→∞)∴𝑓(𝑒𝑛)弱→0(𝑛→∞))定义2设𝑋是赋范线性空间，𝑋′是𝑋的共轭空间，泛函列𝑓𝑛∈𝑋′(𝑛=1,2，…)，如果∃𝑓∈𝑋′，s.t.(1)‖𝑓𝑛−𝑓‖→0(𝑛→∞)，则称{𝑓𝑛}强收敛于𝑓；(2)对∀𝑥∈𝑋，都有|𝑓(𝑥𝑛)−𝑓(𝑥)|→0(𝑛→∞)，则称{𝑓𝑛}弱*收敛于𝑓；(3)若对∀𝐹∈(𝑋′)′，都有𝐹(𝑓𝑛)→𝐹(𝑥)(𝑛→∞)，则称{𝑓𝑛}弱收敛于𝑓.※在此注意的是，1.弱*收敛与弱收敛一般是不同的，但若𝑥是自反的(𝑥∗∗=𝑥，(𝑙2)∗=𝑙2，(𝑅𝑛)∗=𝑅𝑛)则泛函列{𝑓𝑛}的弱*收敛与弱收敛等价。2.𝑓𝑛强→𝑓⇒𝑓𝑛𝑤→𝑓⇒𝑓𝑛𝑤∗→𝑓，反之不然；3.唯一性：𝑓𝑛𝑤→𝑓，𝑓𝑛𝑤∗→𝑔，则𝑓=𝑔.定义3设𝑋，𝑌是两个赋范线性空间，𝑇𝑛∈𝐵(𝑋→𝑌)，𝑛=1,2，…，若∃𝑇𝑛∈𝐵(𝑋→𝑌)，𝑠.𝑡.(1)‖𝑇𝑛−𝑇‖→0(𝑛→∞)，则称{𝑇𝑛}一致收敛于𝑇；(2)对∀𝑥∈𝑋，‖𝑇𝑛𝑥−𝑇𝑥‖→0(𝑛→∞)，则称{𝑇𝑛}强收敛于𝑇；(3)对∀𝑥∈𝑋和∀𝑓∈𝑌′，𝑓(𝑇𝑛𝑥)→𝑓(𝑇𝑥)(𝑛→∞)，则称{𝑇𝑛}弱收敛于𝑇.※在此注意的是，1.一致收敛⇒强收敛⇒弱收敛，反之不然；|𝑓(𝑇𝑛𝑥)−𝑓(𝑇𝑥)|=|𝑓(𝑇𝑛𝑥−𝑇𝑥)|≤‖𝑓‖‖𝑇𝑛𝑥−𝑇𝑥‖≤‖𝑓‖‖𝑇𝑛−𝑇‖‖𝑥‖2.强收敛⇏一致收敛3.弱收敛⇏强收敛二、定理设𝑋，𝑌是𝐵𝐾𝐽，{𝑇𝑛}∈𝐵(𝑋→𝑌)，则{𝑇𝑛}强收敛的充要条件是(1){‖𝑇𝑛‖}有界；(2)∀𝐷稠⊂𝑋，𝑥∈𝐷，{𝑇𝑛𝑥}都收敛。证明：“⟹”∵{𝑇𝑛}强收敛，{𝑇𝑛𝑥}都收敛，∴∀𝑥∈𝑋，‖𝑇𝑛𝑥−𝑇𝑥‖→0(𝑛→∞)，显然(2)成立；又∵{𝑇𝑛𝑥}收敛，∴{‖𝑇𝑛𝑥‖}有界且X是𝐵𝐾𝐽，∴由共鸣定理知，{‖𝑇𝑛‖}有界；“⟸”设‖𝑇𝑛‖≤M，𝑛=1,2，…，又∵𝑋⊂𝐷̅，∀𝑥∈𝑋，∀𝜀0，∃𝑧∈𝐷，𝑠.𝑡.‖𝑥−𝑧‖𝜀.又∵{𝑇𝑛𝑧}收敛，∴∃𝑁，当𝑛𝑁时，∀𝑝∈𝑍+，‖𝑇𝑛+𝑝𝑧−𝑇𝑛𝑧‖𝜀.∴‖𝑇𝑛+𝑝𝑥−𝑇𝑥‖≤‖𝑇𝑛+𝑝𝑥−𝑇𝑛+𝑝𝑧‖+‖𝑇𝑛+𝑝𝑧−𝑇𝑛𝑧‖+‖𝑇𝑛𝑧−𝑇𝑛𝑥‖≤‖𝑇𝑛+𝑝‖‖𝑥−𝑧‖+𝜀+‖𝑇𝑛‖‖𝑧−𝑥‖2𝑀𝜀+𝜀.将上述定理用于泛函的情形，则可知𝑋上任何一列{𝑓𝑛}，如果弱*收敛，必定有界，反之有界{𝑓𝑛}若在𝑋的一个稠密子集上收敛，则必弱*收敛。参考文献：[1]程其襄，张奠宙等.实变函数与泛函分析基础（第三版）[].高等教育出版社，2010，6.