如何求数列通项公式

如何求数列通项公式一、累加法（也叫逐差求和法）：利用1211()()nnnaaaaaa求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()nnaafn的递推数列通项公式的基本方法（()fn可求前n项和）.例1已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列{}na的通项公式为2nan。评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而利用逐差求和法求得数列{}na的通项公式。例2已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn所以31.nnan评注：本题解题的关键是把递推关系式1231nnnaa转化为1231nnnaa，例3已知数列{}na满足1132313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan因此11(13)2(1)2113133133223nnnnnann，则21133.322nnnan评注：本题解题的关键是把递推关系式13231nnnaa转化为111213333nnnnnaa，进而利用逐差求和法求得数列3nna的通项公式，最后再求数列{}na的通项公式。二、累乘法（也叫逐商求积法）:利用恒等式321121(0,2)nnnnaaaaaanaaa求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如:1()nnagna的递推数列通项公式的基本方法(数列()gn可求前n项积).例4已知11a,1()nnnanaa*()nN,求数列na通项公式.【解析】：1()nnnanaa,11nnanan,32112123n1(0,2)12n-1nnnnaaaaananaaa且当1n时11a，满足nan，nan.反思:用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()nnagna.例5已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnn所以数列{}na的通项公式为(1)12325!.nnnnan评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana，进而求出13211221nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。例6已知数列{}na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，，求{}na的通项公式。解：因为123123(1)(2)nnaaaanan①所以1123123(1)nnnaaaanana②用②式－①式得1.nnnaana则1(1)(2)nnanan故11(2)nnanna13212222![(1)43].(3)2nnnnnaaaaaaaannnaa所以由123123(1)(2)nnaaaanan，21222naaa取得，则21aa，又知11a，则21a，代入（3）得!13452nnan。所以，{}na的通项公式为!.2nna评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)nnanan转化为11(2)nnanna，进而求出132122nnnnaaaaaaa，从而可得当2nna时，的表达式，最后再求出数列{}na的通项公式。三、构造新数列:将递推公式n+1naqad（,qd为常数，0q，0d）通过1()()nnaxqax与原递推公式恒等变成1()11nnddaqaqq的方法叫构造新数列.例7已知数列na中,11a,121(2)nnaan,求na的通项公式.【解析】:利用1()2()nnaxax,求得112(1)nnaa,1na是首项为112a,公比为2的等比数列,即12nna,21nna反思:.构造新数列的实质是通过1()()nnaxqax来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.四、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有1nnnaSS(2)n，等差数列或等比数列的通项公式。例8已知无穷数列na的前n项和为nS，并且*1()nnaSnN，求na的通项公式？【解析】：1nnSa，111nnnnnaSSaa，112nnaa，又112a，12nna.反思：利用相关数列na与nS的关系：11aS,1nnnaSS(2)n与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.例9已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。六倒数变换：将递推数列1nnncaaad(0,0)cd,取倒数变成1111nndacac的形式的方法叫倒数变换.例10已知数列na*()nN中,11a,121nnnaaa,求数列na的通项公式.【解析】:将121nnnaaa取倒数得:1112nnaa,1112nnaa,1na是以111a为首项,公差为2的等差数列.112(1)nna,121nan.反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了.四、待定系数法例7已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。解：设1152(5)nnnnaxax④将1235nnnaa代入④式，得12355225nnnnnaxax，等式两边消去2na，得135525nnnxx，两边除以5n，得352,1,xxx则代入④式得1152(5)nnnnaa⑤由1156510a及⑤式得50nna，则11525nnnnaa，则数列{5}nna是以1151a为首项，以2为公比的等比数列，则152nnna，故125nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式1235nnnaa转化为1152(5)nnnnaa，从而可知数列{5}nna是等比数列，进而求出数列{5}nna的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。例8已知数列{}na满足1135241nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解：设1123(2)nnnnaxyaxy⑥将13524nnnaa代入⑥式，得1352423(2)nnnnnaxyaxy整理得(52)24323nnxyxy。令52343xxyy，则52xy，代入⑥式得115223(522)nnnnaa⑦由11522112130a及⑦式，得5220nna，则115223522nnnnaa，故数列{522}nna是以1152211213a为首项，以3为公比的等比数列，因此1522133nnna，则1133522nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式13524nnnaa转化为115223(522)nnnnaa，从而可知数列{522}nna是等比数列，进而求出数列{522}nna的通项公式，最后再求数列{}na的通项公式。例9已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnaxnynzaxnynz⑧将212345nnaann代入⑧式，得2222345(1)(1)2()nnannxnynzaxnynz，则222(3)(24)(5)2222nnaxnxynxyzaxnynz等式两边消去2na，得22(3)(24)(5)222xnxynxyzxnynz，解方程组3224252xxxyyxyzz，则31018xyz，代入⑧式，得2213(1)10(1)182(31018)nnannann⑨由213110118131320a及⑨式，得2310180nann则2123(1)10(1)18231018nnannann，故数列2{31018}nann为以21311011813132a为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322nnann，则42231018nnann。评注：解题的关键是把递推关系式212345nnaann转化为2213(1)10(1)182(31018)nnannann，从而可知数列2{31018}nann是等比数列，进而求出数列2{31018}nann的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。跟踪训练1.已知112a,112nnnaa