与解三角形有关的微专题(一)三角形形状的判定

1与解三角形有关的微专题专题一判断三角形形状例1.在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．若将例题中的“sinA＝2sinBcosC”改为“bsinB＝csinC”，其余不变，试解答本题．利用正弦定理判定三角形的形状的两条途径(1)化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．(2)化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．1.(1)在△ABC中，若(sinA＋sinB)(sinA－sinB)＝sin2C，则△ABC是________三角形．(2)在△ABC中，a2tanB＝b2tanA，试判断三角形的形状．例2.在△ABC中，若(a－ccosB)sinB＝(b－ccosA)·sinA，判断△ABC的形状.利用余弦定理判断三角形形状的方法(1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＋c＝2ccos2A2，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形课后练习：1.1在中，若，则的形状一定是（）ABCcoscosaBbAABC2A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形2.设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形3.△ABC中，若acosB＝bcosA，则该三角形一定是()A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形4.在ABC中，若222sinsinsinABC，则ABC的形状是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定5.在ABC中，60B，2bac，则三角形一定是()．A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB－bcosA＝c，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定7.已知△ABC的三个内角ABC,,所对的边分别为a，b，c，向量(,)macba，(,)nacb,且mn.(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若222sin2sin122AB，判断△ABC的形状．8．在△ABC中，已知a＋ba＝sinBsinB－sinA，且cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C.(1)试确定△ABC的形状；(2)求a＋cb的取值范围．与解三角形有关的微专题专题一判断三角形形状ABC,,ABC,,abccoscossinbCcBaAABC3例1.在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．[解]法一：根据正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC，因为sin2A＝sin2B＋sin2C，所以a2＝b2＋c2，所以A是直角，B＋C＝90°，所以2sinBcosC＝2sinBcos(90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1，所以sinB＝22.因为0°B90°，所以B＝45°，C＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形．法二：根据正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC，因为sin2A＝sin2B＋sin2C，所以a2＝b2＋c2，所以A是直角．因为A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，所以sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，所以sin(B－C)＝0.又－90°B－C90°，所以B－C＝0，所以B＝C，所以△ABC是等腰直角三角形．若将例题中的“sinA＝2sinBcosC”改为“bsinB＝csinC”，其余不变，试解答本题．解：由正弦定理，设asinA＝bsinB＝csinC＝2R，从而得sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.因为bsinB＝csinC，sin2A＝sin2B＋sin2C，所以b·b2R＝c·c2R，a2R2＝b2R2＋c2R2，所以b2＝c2，a2＝b2＋c2，所以b＝c，A＝90°.所以△ABC为等腰直角三角形．利用正弦定理判定三角形的形状的两条途径(1)化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．(2)化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．3.(1)在△ABC中，若(sinA＋sinB)(sinA－sinB)＝sin2C，则△ABC是________三角形．(2)在△ABC中，a2tanB＝b2tanA，试判断三角形的形状．4解：(1)由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理知a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形．故填直角．(2)由正弦定理得：a＝2RsinA，b＝2RsinB.因为a2tanB＝b2tanA，所以sin2AsinBcosB＝sin2BsinAcosA，即sinAcosB＝sinBcosA，所以sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B.即A＝B或A＋B＝π2，所以三角形ABC为等腰三角形或直角三角形．例2.在△ABC中，若(a－ccosB)sinB＝(b－ccosA)·sinA，判断△ABC的形状.[解]法一：由正弦定理及余弦定理，知原等式可化为：a－ca2＋c2－b22acb＝b－cb2＋c2－a22bca，整理，得(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.所以a2＝b2或a2＋b2－c2＝0，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二：由正弦定理，知原等式可化为：(sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)sinA，所以sinBcosB＝sinAcosA，所以sin2B＝sin2A，所以2B＝2A或2B＋2A＝π，所以A＝B或A＋B＝π2，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．利用余弦定理判断三角形形状的方法(1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出5边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＋c＝2ccos2A2，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选A.因为b＋c＝2ccos2A2且2cos2A2＝1＋cosA，所以b＋c＝c(1＋cosA)，即b＝ccosA，由余弦定理得b＝c·b2＋c2－a22bc，化简得a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．课后练习：1.1在中，若，则的形状一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【答案】D2.设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【答案】B3.△ABC中，若acosB＝bcosA，则该三角形一定是()A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形ABCcoscosaBbAABCABC,,ABC,,abccoscossinbCcBaAABC6C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】试题分析：学科网由cossin=sincossincossin2sin2cossin2aBAAABBABABbABabcosBcosA得得或A+B=选D.4.在ABC中，若222sinsinsinABC，则ABC的形状是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】试题分析：因为RcCRbBRaARCcBbAa2sin,2sin,2sin,2sinsinsin,由已知条件得02cos,0222222abcbaCcba，所以C为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故选A5.在ABC中，60B，2bac，则三角形一定是()．A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得222222cosbacacBacac∴2()0acac故选B.6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB－bcosA＝c，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B.利用正弦定理asinA＝bsinB＝csinC化简已知的等式得：sinAcosB－sinBcosA＝sinC，即sin(A－B)＝sinC，因为A，B，C为三角形的内角，所以A－B＝C，即A＝B＋C＝90°，则△ABC为直角三角形．故选B.7.已知△ABC的三个内角ABC,,所对的边分别为a，b，c，向量(,)macba，(,)nacb,且mn.(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若222sin2sin122AB，判断△ABC的形状．【答案】(Ⅰ)3；（Ⅱ）等边三角形．78．(选做题)在△ABC中，已知a＋ba＝sinBsinB－sinA，且cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C.(1)试确定△ABC的形状；(2)求a＋cb的取值范围．解：(1)在△ABC中，设其外接圆半径为R，根据正弦定理得，sinA＝a2R，sinB＝b2R，代入a＋ba＝sinBsinB－sinA，得a＋ba＝bb－a，所以b2－a2＝ab.①因为cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C，所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C，所以sinAsinB＝sin2C.由正弦定理，得a2R·b2R＝c2R2，所以ab＝c2.②把②代入①得，b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2.8所以△ABC是直角三角形．(2)由(1)知B＝π2，所以A＋C＝π2，所以C＝π2－A.所以sinC＝sinπ2－A＝cosA.根据正弦定理，得a＋cb＝sinA＋sinCsinB＝sinA＋cosA＝2sinA＋π4.因为0＜A＜π2，所以π4＜A＋π4＜3π4.所以22＜sinA＋π4≤1，所以1＜2sinA＋π4≤2，即a＋cb的取值范围是(1，2]．