(完整版)第四章晶格振动

第五章晶格振动在上一章的讨论中把组成晶体的粒子看作是处在平衡位置上的。但对于实际晶体却不确切。实际晶体中的原子并不处于静止状态，它们在平衡位置附近作微振动，而且由于晶体内原子间存在着相互作用力，因此各个原子的振动并不是孤立的，而是联系在一起的，整个晶格可看作是一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动称为晶格振动。晶格振动不仅对晶体的比热、热膨胀和热传导等热学性质有重要影响，而且和晶体的电学性质、光学性质和介电性质等也有密切关系。应用晶格振动理论可对物理性质作比较统一的论述，为简单起见，我们先考虑一维晶格的振动，然后再把所得得的的主要结论加以推广，引出三维晶格振动的基本特征。本章要研究的内容：晶格振动及其对晶体宏观性质的影响研究的意义：利用晶格振动的理论解释晶体的热学性质研究的方法：一维原子链三维晶格晶格振动与热学性质之间的关系格波声子§1一维原子链的振动简谐近似：假设原子间的相互作用力仅存在于最近邻原子之间，在简谐近似下，我们可以用一个力常数为k的弹簧表示最紧邻原子间的相互作用。一维情况下，原子的振动是纵向的。一独立简谐振动二简谐振动的耦合（一）一维单原子链的振动（二）一维双原子链的振动晶格振动最简单的模式是独立简谐振动，所谓独立是指：(1)各个原子的振动相互独立；(2)一个原子在三个空间方向上的振动相互独立。一独立简谐振动1.一维简谐振动的经典力学处理根据经典力学原理，一维简谐振动满足如下微分方程：解得系统势能对晶格振动，如温度不是很高，原子只在平衡位置附近作微小位移，这时的晶格振动满足简谐条件，k等于f(r)-r曲线在r0处斜率的绝对值，m是原子质量。22dxmfkxdtxAtcoskm/2/2Ekx2一维简谐振动的量子力学处理•原子是一种量子，其运动规律受量子力学支配。一维谐振子的主要结论（在第一章已经学习过）由于简谐振子的势能为，将这个关系代入薛定谔方程，就可以确定简谐振子的波函数。可以证明，量子化的简谐振子能量的可能值为：显然，原子振动的能量是量子化的。n=0对应的能量称为零点能量，相邻能级的能量差为。2/2Vkxn1E=(n+)20,1,2,3,n2/h二简谐振动的耦合•事实上，晶体中原子的振动并不是独立的，而是相互关联的，这种关系称为耦合。（一）一维单原子链的振动（二）一维双原子链的振动（一）一维单原子链的振动引言建立模型建立运动方程求解讨论1引言体心立方的铁一维单原子链三维问题的简化波矢q的可取值是分离的链长的有限性造成的波矢q取值的分离性将保持，ω与q的线性关系一般不存在，且振动角频率ω有上限，被限制在一定的区间。在一维连续介质中传播的弹性波2vvq弹弹vY弹若弦或棒为有限长(L)，则形成驻波，L必为半波长的整数倍，则：2,nqnL为整数minqL一维单原子链振动的简介一维单原子链中离散的原子耦合振动形成的波2建立模型1）最近邻假设：只考虑最近邻原子之间的相互作用力；2）简谐近似：相互作用力为简谐力；3）波恩－卡曼周期性边界条件：波恩－卡曼周期性边界条件3建立运动方程1)对于第n个原子有：2)对于单原子链上的每一个原子，都遵从类似的方程，共有N个类似方程，且相互耦合。mdudtkuukuu22nnn1nn14求解设方程组的解得到niqnatuAe1,2,3,,nN格波224sin()2kaqm色散关系1iqNae22qllNaLnNnuul取任意整数2112(2)nnnndumkuuudt[(1)]1[(1)]1inaqtninaqtnuAeuAe2(2)iaqiaqmkee5讨论1）格波与连续介质中弹性波的差别与联系——格波和连续介质波具有完全类似的形式——一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动差别：格波的空间坐标是离散的。联系：在长波极限下，常用连续介质弹性波代替较复杂的格波。（证明）uAeiqnatn例1证明在长波极限下，可用连续介质弹性波代替较复杂的格波。02sin2qkqakaqvqmm/kavYkamama，而，Yvv弹2）关于格波角频率格波的角频率ω是波矢q的周期函数：格波的角频率ω有极大值：，而在连续介质的平面波中，角频率是没有上限的格波的角频率ω与波矢q只能取间断数值。m2km/qaq2——一维单原子晶格看作成低通滤波器例212522qqaa，有一维单原子链，原子间距为a，分别画出下列波矢条件下的原子瞬时位移图形。112224245aqaq解：qaa波矢的取值——只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题——其它区域不能提供新的物理内容长波极限下短波极限下相邻两个原子振动位相差3）极限波长下的原子振动可认为是连续介质0q(1)0qnaqnaqa2qqa22aq小结格波：具有平面波的形式，称为格波。色散关系：q的可取值是分离的：qnatAAeutqnaicosn22kmqasinq：波矢k：表示弹性常数qNalLl22l取任意整数（二）一维双原子链的振动引言建立模型建立运动方程求解讨论1引言CsCl晶体2建立模型1最近邻假设：只考虑最近邻异类原子之间的相互作用力；2简谐近似：相互作用力为简谐力；3波恩－卡曼周期性边界条件：两种原子m和M_(Mm)，系统有N个原胞22221221nNnnNnnNnuuuuuu波恩－卡曼周期性边界条件3建立运动方程2121222(2)nnnnMk[(2)][(21)]221itnaqitnaqnnAeandBe——两种原子振动的振幅A和B一般来说是不相等第2n+1个M原子的方程222121(2)nnnnmk第2n个m原子的方程方程解的形式4求解——A、B有非零的解，系数行列式为零2121222222121(2)(2)nnnnnnnnMkmk第2n+1个M原子第2n个m原子方程的解格波22()2()2iaqiaqiaqiaqmAkeeBkAMBkeeAkB22(2)(2cos)0(2cos)(2)0kmAkaqBkaqAkMB[(2)]2[(21)]21itnaqnitnaqnAeBe12222()4{1[1sin]}()mMmMkaqmMmM——一维复式晶格中存在两种独立的格波12222()4{1[1sin]}()mMmMkaqmMmM12222()4{1[1sin]}()mMmMkaqmMmM——光学波——声学波2222cos02cos2kmkaqkaqkM——与q之间存在着两种不同的色散关系——一维复式格子存在两种独立的格波5分析讨论振动状态的传递波矢q的取值色散关系两种格波的振幅长波极限下的两种格波1)振动状态的传递轻原子(质量为m)之间相互传递振动状态，相邻轻原子之间的最小空间位相差为2qa。同样，相邻重原子(质量为M)之间相互传递振动状态，其最小空间位相差也是2qa。[(2)][(21)]221itnaqitnaqnnAeandBe2)q的取值波矢q的值aqa22——第一布里渊区采用周期性边界条件/a布里渊区大小qllNa为整数第一布里渊区允许的q值的数目NNaa/——对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波——总的格波数目为2N：原子的数目:2N222nNn21iNqae3)色散关系的特点周期性minmax()~()频率间隙——一维双原子晶格叫做带通滤波器——不存在格波minmax()()当2qa4)两种格波的振幅22()02cosmkBAkaq22()02cosmkBAkaq12222()4{1[1sin]}()mMmMkaqmMmM——光学波——声学波22(2)(2cos)0(2cos)(2)0kmAkaqBkaqAkMB长声学波中相邻原子的振动1)(AB——原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致——代表原胞质心的振动5)长波极限下的两种格波22()2cosmkBAkaq2()kaqmM0,0q长声学波长光学波中相邻原子的振动MmAB)(——长光学波同种原子振动位相一致，相邻原子振动相反——原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动0q12222()4{1[1sin]}()mMmMkaqmMmM2,kmMmM22()2cosmkBAkaq长光学波6小结一维双原子链的振动有以下主要特点1)相邻同类原子之间传递振动状态；2)波矢q取分离值，取值个数为原胞个数N；3)对应1个确定的波矢，有2支格波，共有2N支格波；4)格波布里渊区边界出现频隙；5)光学波与声学波，各有相应的频率范围，激发频率不同，描述的原子振动状态不同。min00max//22akMmax/02kmMmMmin//22akm声学波光学波22cos02AkqaBkm22cos02AkqaBkm声学波光学波相邻异类原子一般朝同一方向振动相邻异类原子一般朝相反方向振动在长波极限：相邻原子同向振动，而且振幅相同，它们的振动(波动)行为好象是同一类原子。反映的是晶格的整体振动。在长波极限：,mA+MB=0，晶胞质心不动。晶体并非整体呈刚体，其中的轻原子与重原子分别构成刚性结构，而且两类原子永远反向振动。ABMm//q0与一维单原子链主要结论的比较共同特点：色散关系中，角频率都为波矢的周期函数，都有极值。波矢都只能取分离的值，取值数目都为晶体原胞的个数。不同之处：一维单原子链一维双原子链色散关系种类12（1支声学波和1支光学波）波矢的区间波矢的周期波矢的最小间隔格波总数N2NNaa,aa（）,22aa（）2Na2a（三）三维晶格格波的色散关系简单晶格复杂晶格单个原子独立平均自由度3个。振动波的3个传播方向上有一支纵波和两支横波，每一支波有自己独立的振动频率。对具有特殊对称性的晶体，两支横波简并为单一横波支，三支频谱可能简并为两支。原子个数12是否有光学波分支无有。色散关系种类3（2）种总共6其中3(2)支声学波，3支光学波，§2三维晶格的振动一动力矩阵方法简介二晶格振动的一般结论三晶格振动的频谱三维复式格子各原子偏离格点的位移晶体的原胞数目原子的质量第l个原胞的位置原胞中各原子的位置——一个原胞中有n个原子第k个原子运动方程——原子在三个方向上的位移分量——一个原胞中有3n个类似的方程方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解将方程解代回3n个运动方程——3n个线性齐次方程——系数行列式为零条件，得到3n个)3,3,2,1(njj长波极限3个——趋于一致——三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动——3支声学波——3n－3支长波极限的格波描述一个原胞中各原子间的相对运动——3n－3支光学波结论：晶体中一个原胞中有n个原子组成，有3支声学波和3n－3支光学波波矢——波矢空间的3个基矢三维晶格中的波矢——倒格子基矢——3个系数采用波恩－卡曼边界条件333222111bNhbNhbNhq波矢波矢空间一个点占据的体积——倒格子原胞体积状态密度0123*()NNvbbb033