第8章-传递函数矩阵的状态空间实现

第八章传递函数矩阵的状态空间实现引言状态空间实现简称为实现（Realization）。对于线性时不变系统，实现是传递函数矩阵（外部描述）的外部等价的状态空间描述（内部描述）。研究的目的在于，建立系统各种描述的转换和反映关系，为采用各类分析技术研究系统运动过程和性能提供多元途径。主要内容1.实现的基本概念和基本属性2.标量传递函数的典型实现3.基于有理分式矩阵描述的典型实现4.基于矩阵分式描述的典型实现5.不可简约矩阵分式描述的最小实现8.1实现的基本概念和基本属性本节讨论实现的共性概念和共性问题。1实现的定义和属性对于连续线性时不变系统，其传递函数矩阵的实现是这样定义的。)18(DuCxyBuAxx或简写为(A,B,C,D)是其传递函数矩阵G(s)的一个实现，如果两者为外部等价，即成立关系式：C(sI-A)-1B+D=G(s)(8–2)定义8-1[实现]对于真或严格真连续线性时不变系统，称一个状态空间描述注这里使用的符号D与G(s)的右MFD描述G(s)=Nr(s)Dr-1(s)和左MFD描述G(s)=Dl-1(s)Nl(s)中的符号Dr、Dl不同，切勿混淆。实现的基本属性：(1)实现的维数传递函数矩阵G(s)的实现(A,B,C,D)的结构复杂程度可由其维数表征。一个实现的维数规定为其系统矩阵A的维数，即实现的维数=dimA(8–3)(2)实现的不惟一性传递函数矩阵G(s)的实现(A,B,C,D)满足强不惟一性，即不仅实现结果不惟一，而且其实现维数也不惟一。(3)最小实现传递函数矩阵G(s)的所有实现(A,B,C,D)中维数最小的一类实现。实质上，最小实现是外部等价于G(s)的一个结构最简单状态空间模型。(4)实现间的关系对传递函数矩阵G(s)，其不同实现间一般不存在代数等价关系，但其最小实现间必具有代数等价关系。(5)实现的物理本质直观上，传递函数矩阵G(s)的实现就是对具有“黑箱”形式的真实系统在状态空间领域寻找一个外部等价的内部假想结构，内部假想结构对真实系统的可否完全表征性依赖于系统是否可控可观测。(6)实现的形式G(s)实现的形式取决于其真性和严格真性。当G(s)为严格真，其实现对应地具有形式(A,B,C)，即D=0；当G(s)为真，其实现对应地具有形式(A,B,C,D)，即D≠0，且有)48()(limsGDs(7)扩展构造其它实现的途径设状态空间描述(A,B,C,D)为传递函数矩阵G(s)的一个实现，dimA=n，则对任一n×n非奇异阵T，状态空间描述(T-1AT,T-1B,CT,D)必也为G(s)的一个同维实现。2可控类和可观测类实现可控类和可观测类实现是两类基本的典型实现。定义8-2[可控类实现]称状态空间描述(A,B,C,D)为传递函数矩阵G(s)的一个可控类实现，当且仅当C(sI-A)-1B+D=G(s)(8–5)(A,B)可控且具有指定形式(8–6)注可控类实现可具有不同的形式。当G(s)以有理分式矩阵或矩阵分式描述形式表达时，可以构成形式很不相同的可控类实现。定义8-3[可观测类实现]称状态空间描述(A,B,C,D)为传递函数矩阵G(s)的一个可观测类实现，当且仅当C(sI-A)-1B+D=G(s)(8–7)(A,C)可观测且具有指定形式(8–8)注同样，当G(s)为有理分式矩阵描述或矩阵分式描述形式表达时，可以构成形式很不相同的可观测类实现。3最小实现最小实现是传递函数矩阵G(s)的所有实现中结构最为简单的实现，即从外部等价的角度看，实现中不包含任何多余的部分，因此也称最小实现为不可简约实现。(1)最小实现的判据设(A,B,C)为严格真传递函数矩阵G(s)的一个实现，则其为最小实现的充要条件是(A,B)完全可控，(A,C)完全可观测(8–8)证略。(2)最小实现的广义惟一性严格真传递函数矩阵G(s)的最小实现不惟一，但满足广义惟一性。也就是说，若(A,B,C)和为G(s)的任意两个最小实现，则必可由此构造出一个n×n非奇异常阵T使下式成立),,(CBA)238(,,11CTCBTBATTA证略。(3)实现的最小维数对q×p传递函数矩阵G(s)，r=RankG(s)，Smith-McMillan型为其中，U(s)、V(s)为q×q和p×p单模阵。那么，G(s)的状态空间实现的最小维数为)558()(deg1minriisn)548(000)()()()()()()()()()(2211sssssssVsGsUsMrr8-2标量传递函数的典型实现不失一般性，考虑SISO线性时不变系统的传递函数为真标量传递函数g(s)，并通过严真化先将其表示成常数e和严格真有理分式n(s)/d(s)之和，即其中那么，对g(s)的各类实现就归结为对严格真传递函数n(s)/d(s)导出相应的实现，而常数e为各类实现中的输入输出直接传递系数。1可控标准型实现式(8-61)所示g(s)的严格真部分n(s)/d(s)的可控标准型实现具有形式)628(],,,[,1000,1000010000101101210nccnccbA)618()()()(01110111esdsnessssssgnnnnn为实常数esssnssssdnnnnnnn},,,,{},,,,{)()(11011001110111严格真部分n(s)/d(s)的可控标准型实现的方块图如图8-1所示：将严真部分n(s)/d(s)的可控标准型实现推广到式(8-61)所示真标量传递函数g(s)，得到g(s)的可控标准型实现为(Ac,bc,cc,e)，其中，Ac,bc,cc如式(8-62)所示。u∫∫…∫-an-1-an-2-a0++xnxn-1x1ßn-1ß0ß1y图8-1可控标准型实现的方块图…∫-a2-a1nxx2x3++++++++ßn-2ß2…++++++++2可观测标准型实现式(8-61)所示g(s)的严真部分n(s)/d(s)的可观测标准型实现具有形式严格真部分n(s)/d(s)的可观测标准型实现的方块图如图8-2所示：)718(]100[,,10001000100012101210ononocbA将严真部分n(s)/d(s)的可观测标准型实现推广到式(8-61)所示真标量传递函数g(s)，得到g(s)的可观测准型实现为(Ao,bo,co,e)，其中，Ao,bo,co如式(8-71)所示。图8-2可观测标准型实现的方块图u∫∫…-an-1-a0++x1x2xnßn-1ß1y∫-a2-a11xxn-1ß2…++++++ß02x3xnx…注n(s)/d(s)的可控型实现(Ac,bc,cc)与可观测型实现(Ao,bo,co)有对偶关系3并联型实现设式(8-61)所示g(s)的严格真部分n(s)/d(s)的极点为λ1(μ1重)、λ2(μ2重)、…、λm(μm重)，λi(i=1~m)之和为维数n(8-73)其中，λi≠λk,∀i≠k。即n(s)/d(s)可表示成下式则n(s)/d(s)的并联型实现为(Ap,bp,cp)，g(s)的并联型实现为(Ap,bp,cp,e))748())(()(/)(11mikkiikisfsdsnmmmmmmpmpmmmmpffffffcbA111)758(][100100,1111121112111111并联实现(8-75)中，Ap为约当规范型，因此也称并联实现为约当型实现。当g(s)的严格真部分n(s)/d(s)中包含共轭复数极点时，并联实现中会出现复数元，导致应用和分析上的不便。解决方法是对(Ap,bp,cp)引入适当等价变换，使之实数化，以m=3时的情形为例，设(Ap,bp,cp)为)818(,,311321311ccccbbbbAAAAppp其中，复数矩阵块Ā1共轭于A1，复数矩阵共轭于c1，其余均为实数矩阵块。现引入线性非奇异变换：A=PApP-1，b=Pbp，c=cpP-1(8-82)且变换矩阵为1c)838(000212102121,000031111131111IjIIjIIPIjIjIIIP其中，I1为维数与A1相同的单位阵，I3为维数与A3相同的单位阵，j2=-1。上述变换下导出的实数化并联实现具有形式：4串联型实现设式(8-61)所示g(s)的严真部分n(s)/d(s)的极点和零点为{λ1,λ2,…,λn}和{z1,z2,…,zn-1}，且表n(s)/d(s)为)848(ImRe,02,000ReIm0ImRe3113131111ccccbbbAAAAAA)858(1)(/)(111niiinnszsssdsn则严真部分n(s)/d(s)串联型实现为(AT,bT,cT)，g(s)的串联型实现为(AT,bT,cT,e)，其中)758(]100[1,111122111111112221TnnnTnnnnnnTczzzbzzzA8-3基于有理分式矩阵描述的典型实现传递函数矩阵的描述方式有多种，本节是针对传递函数矩阵的有理分式矩阵描述，讨论可控型和可观测型实现的构造方法。这里，E=G(∞)。再设Gsp(s)诸元的最小公分母d(s)为)928()())(()())(()(sGEsgesgsGspspijijij以有理分式矩阵描述给出的真q×p传递函数矩阵G(s)如下G(s)=(gij(s)),i=1,2,…,q;j=1,2,…,p(8-91)进而，)938()(0111ssssdlll由此，严格真传递函数Gsp(s)可进一步表示为)948(][)(1)()(1)(0111PsPsPsdsPsdsGllsp其中，Pk(k=1,2,…,l-1)为q×p常阵。1可控型实现式(8-94)所示Gsp(s)的可控型实现具有形式)958(00,00110110llpqcpplpcplpppplplpcPPPCIBIIIIIA【例8-1】求出下面G(s)的可控型实现。31)3)(1(1)2)(1(111)(sssssssG解G(s)为严格真传递函数矩阵，其中各元的最小公分母为d(s)=(s+1)(s+2)(s+3)=s3+6s2+11s+6则G(s)可表示成)223631151001(61161232365)(1)(22322ssssssssssssdsGG(s)的可控型实现为103122011536,00,61160000222222222222cccCIBIIIIIA2可观测型实现式(8-94)所